Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor da integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
, que pode ser reescrito como . - Os limites de integração são
(limite inferior) e (limite superior). - Observação importante sobre o domínio: a função
está indefinida em , mas o intervalo de integração não contém . Portanto a função é contínua no intervalo dado e a técnica padrão de antiderivadas vale aqui.
O que se pede: calcular numericamente o valor da integral definida acima.
Passo 2
Princípio que vamos usar (enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo, versão prática): se
é contínua em
e
é qualquer antiderivada de
(isto é,
), então
Isto significa que a tarefa se reduz a encontrar uma primitiva
de
e depois calcular a diferença
.
Passo 3
Como encontrar uma antiderivada de
? Usamos duas regras básicas de integração (que são fichinhas da prova):
- Regra do fator constante:
onde
é constante.
- Regra da potência (válida para todo
):
Aqui
é qualquer número real diferente de
, e
é a constante de integração.
Aplicando ao nosso caso:
. Primeiro fator constante
para fora:
Agora use a regra da potência com
:
Multiplicando pelo
:
Passo 4
Portanto uma antiderivada (primitiva) de
é
Uma checagem rápida (útil na prova): calcular
. Tem-se
, que é exatamente
. Então está certo.
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral definida:
onde podemos tomar
(a constante cancela na diferença).
Calcule
e
:
Agora a diferença:
Colocando sobre denominador comum:
Passo 6
Interpretação curta (para te acalmar antes da prova): o valor é negativo, o que faz sentido porque no intervalo
a função
é negativa (já que
é negativo e o numerador é positivo), então a integral (área algébrica) dá um número negativo.