Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{-5}^{-1} \frac{2}{x^{3}} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da integral definida
\int_{-5}^{-1} \frac{2}{x^{3}}\,\mathrm{d}x.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{2}{x^{3}}, que pode ser reescrito como 2x^{-3}.
  • Os limites de integração são a=-5 (limite inferior) e b=-1 (limite superior).
  • Observação importante sobre o domínio: a função 2x^{-3} está indefinida em x=0, mas o intervalo de integração [-5,-1] não contém 0. Portanto a função é contínua no intervalo dado e a técnica padrão de antiderivadas vale aqui.
O que se pede: calcular numericamente o valor da integral definida acima.

Passo 2

Princípio que vamos usar (enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo, versão prática): se f é contínua em [a,b] e F é qualquer antiderivada de f (isto é, F'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = F(b)-F(a).
Isto significa que a tarefa se reduz a encontrar uma primitiva F(x) de f(x)=2x^{-3} e depois calcular a diferença F(-1)-F(-5).

Passo 3

Como encontrar uma antiderivada de 2x^{-3}? Usamos duas regras básicas de integração (que são fichinhas da prova):
  1. Regra do fator constante:
\int c\cdot g(x)\,\mathrm{d}x = c\int g(x)\,\mathrm{d}x,
onde c é constante.
  1. Regra da potência (válida para todo n\neq -1):
\int x^{n}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n é qualquer número real diferente de -1, e C é a constante de integração.
Aplicando ao nosso caso: f(x)=2x^{-3}. Primeiro fator constante 2 para fora:
\int 2x^{-3}\,\mathrm{d}x = 2\int x^{-3}\,\mathrm{d}x.
Agora use a regra da potência com n=-3:
\int x^{-3}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2}x^{-2} + C.
Multiplicando pelo 2:
2\int x^{-3}\,\mathrm{d}x = 2\left(-\frac{1}{2}x^{-2}\right)+C = -x^{-2}+C.

Passo 4

Portanto uma antiderivada (primitiva) de f(x)=2x^{-3} é
F(x) = -x^{-2} + C = -\frac{1}{x^{2}} + C.
Uma checagem rápida (útil na prova): calcular F'(x). Tem-se F'(x)= -(-2)x^{-3}=2x^{-3}, que é exatamente f(x). Então está certo.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral definida:
\int_{-5}^{-1} \frac{2}{x^{3}}\,\mathrm{d}x = F(-1)-F(-5),
onde podemos tomar F(x)=-\dfrac{1}{x^{2}} (a constante cancela na diferença).
Calcule F(-1) e F(-5):
F(-1) = -\frac{1}{(-1)^{2}} = -\frac{1}{1} = -1,
F(-5) = -\frac{1}{(-5)^{2}} = -\frac{1}{25}.
Agora a diferença:
F(-1)-F(-5) = -1 -\left(-\frac{1}{25}\right) = -1 + \frac{1}{25}.
Colocando sobre denominador comum:
-1 + \frac{1}{25} = -\frac{25}{25} + \frac{1}{25} = -\frac{24}{25}.

Passo 6

Interpretação curta (para te acalmar antes da prova): o valor é negativo, o que faz sentido porque no intervalo [-5,-1] a função 2/x^{3} é negativa (já que x^{3} é negativo e o numerador é positivo), então a integral (área algébrica) dá um número negativo.

Resposta

-\dfrac{24}{25}

Exercícios relacionados