Exercício 5. Calcule usando a regra da substituição
\int \frac{2}{(3 t+1)^{2.4}} d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{2}{(3t+1)^{2.4}}\,dt.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{2}{(3t+1)^{2.4}}.
  • Quer-se uma primitiva (integral indefinida), isto é, uma função F(t) tal que F'(t)=\dfrac{2}{(3t+1)^{2.4}}.
    Não há outras restrições nem limites de integração.

Passo 2

Explicando a técnica que vamos usar — substituição (mudança de variável):
  • Ideia: quando a integranda é uma função composta f(g(t)) multiplicada por algo proporcional a g'(t), é conveniente definir u=g(t) e reescrever a integral em termos de u.
  • Fórmula geral: se \;u=g(t)\; então \;du=g'(t)\,dt\; e a integral em t
\int f(g(t))\,g'(t)\,dt
passa para a integral em u
\int f(u)\,du.
  • Aqui cada símbolo significa: t é a variável original, u é a nova variável, g'(t) é a derivada de g em relação a t, e du é o diferencial correspondente.

Passo 3

Escolha da substituição: olhar para o denominador (3t+1)^{2.4}. A parte interna é 3t+1, então tomamos
u = 3t + 1.
Calculemos du:
du = 3\,dt \quad\Rightarrow\quad dt = \frac{du}{3}.
Comentário: a derivada de 3t+1 é 3, que aparece como fator a ajustar quando substituirmos dt.

Passo 4

Fazer a substituição na integral. A potência 2.4 escrevemos como fração para facilitar cálculos: 2{,}4=\dfrac{12}{5}. Então
\frac{2}{(3t+1)^{2.4}}\,dt = \frac{2}{u^{12/5}}\cdot\frac{du}{3}.
Assim a integral vira
\int \frac{2}{(3t+1)^{2.4}}\,dt = \frac{2}{3}\int u^{-12/5}\,du.
Observação: tirou-se o fator constante \dfrac{2}{3} para fora da integral.

Passo 5

Integrar com a regra da potência: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\dfrac{12}{5}. Então n+1=-\dfrac{12}{5}+1=-\dfrac{7}{5}. Aplicando:
\frac{2}{3}\int u^{-12/5}\,du = \frac{2}{3}\cdot\frac{u^{-7/5}}{-7/5}+C.
Agora simplificamos o fator numérico:
\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{-7/5} = \frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{5}{7}\right) = -\frac{10}{21}.
Portanto a primitiva em u é
-\frac{10}{21}\,u^{-7/5}+C.

Passo 6

Voltar para a variável original t substituindo u=3t+1:
\int \frac{2}{(3t+1)^{2.4}}\,dt = -\frac{10}{21}\,(3t+1)^{-7/5}+C.
Também pode ser escrita como
-\frac{10}{21}\,\frac{1}{(3t+1)^{7/5}}+C.

Passo 7

Verificação rápida (diferenciação) para ganhar confiança: derivando F(t)=-\dfrac{10}{21}(3t+1)^{-7/5},
F'(t) = -\frac{10}{21}\cdot\left(-\frac{7}{5}\right)\cdot 3\,(3t+1)^{-12/5}.
Calcule os fatores: -\dfrac{10}{21}\cdot\left(-\dfrac{7}{5}\right)\cdot 3 = \dfrac{10\cdot7\cdot3}{21\cdot5}\cdot\frac{1}{\;}\;=\dfrac{210}{105}=2. Então
F'(t)=2\,(3t+1)^{-12/5}=\frac{2}{(3t+1)^{2.4}},
que é exatamente a integranda. Confere!

Resposta

-\dfrac{10}{21}\,(3t+1)^{-7/5}+C

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