Exercício 5. Calcule usando a regra da substituição
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se uma primitiva (integral indefinida), isto é, uma função
tal que .
Não há outras restrições nem limites de integração.
Passo 2
Explicando a técnica que vamos usar — substituição (mudança de variável):
- Ideia: quando a integranda é uma função composta
multiplicada por algo proporcional a , é conveniente definir e reescrever a integral em termos de . - Fórmula geral: se
então e a integral em
passa para a integral em
- Aqui cada símbolo significa:
é a variável original, é a nova variável, é a derivada de em relação a , e é o diferencial correspondente.
Passo 3
Escolha da substituição: olhar para o denominador
. A parte interna é
, então tomamos
Calculemos
:
Comentário: a derivada de
é
, que aparece como fator a ajustar quando substituirmos
.
Passo 4
Fazer a substituição na integral. A potência
escrevemos como fração para facilitar cálculos:
. Então
Assim a integral vira
Observação: tirou-se o fator constante
para fora da integral.
Passo 5
Integrar com a regra da potência: para
,
Aqui
. Então
. Aplicando:
Agora simplificamos o fator numérico:
Portanto a primitiva em
é
Passo 6
Voltar para a variável original
substituindo
:
Também pode ser escrita como
Passo 7
Verificação rápida (diferenciação) para ganhar confiança: derivando
,
Calcule os fatores:
Então
que é exatamente a integranda. Confere!