Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{-\pi}^{\pi} \operatorname{sen}(3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-\pi}^{\pi} \operatorname{sen}(3x)\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Integrando: \operatorname{sen}(3x).
  • Intervalo de integração: de x=-\pi até x=\pi (intervalo simétrico em torno de zero).
  • Método exigido pelo enunciado: usar o Teorema Fundamental do Cálculo (calcular a primitiva/antiderivada e avaliar nos limites).

Passo 2

Enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo (forma usada aqui):
Se f é contínua em [a,b] e F é uma antiderivada de f (ou seja, F'(x)=f(x) para todo x em [a,b]), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Interpretação prática: para calcular uma integral definida, primeiro encontramos uma função F cuja derivada é f; depois avaliamos F nos extremos e fazemos a diferença F(b)-F(a).

Passo 3

Vamos encontrar uma antiderivada F(x) de f(x)=\operatorname{sen}(3x).
Método por substituição (passo a passo didático):
  • Faça a substituição u=3x. Então du=3\,dx, ou dx=\dfrac{du}{3}.
  • A integral indefinida fica
\int \operatorname{sen}(3x)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \operatorname{sen}(u)\,du.
  • Sabendo que \int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u)+C, obtemos
\int \operatorname{sen}(3x)\,dx = \frac{1}{3}\bigl(-\cos(u)\bigr)+C = -\frac{1}{3}\cos(3x)+C.
Assim uma antiderivada é
F(x) = -\frac{1}{3}\cos(3x).
Verificação rápida (usando a regra da cadeia): F'(x) = -\frac{1}{3}\cdot(-3)\sin(3x)=\sin(3x), confirma que F é antiderivada de f.

Passo 4

Aplique o Teorema Fundamental do Cálculo com F(x)=-\dfrac{1}{3}\cos(3x), a=-\pi, b=\pi:
\int_{-\pi}^{\pi} \operatorname{sen}(3x)\,dx = F(\pi)-F(-\pi).
Calcule F(\pi) e F(-\pi):
F(\pi) = -\frac{1}{3}\cos(3\pi),\qquad F(-\pi) = -\frac{1}{3}\cos(-3\pi).
Usando \cos(-\theta)=\cos(\theta) e \cos(3\pi)=\cos(\pi\cdot 3)=(-1)^3=-1, obtemos
\cos(3\pi) = -1,\qquad \cos(-3\pi)=\cos(3\pi)=-1.
Portanto
F(\pi) = -\frac{1}{3}\cdot(-1)=\frac{1}{3},\qquad F(-\pi)= -\frac{1}{3}\cdot(-1)=\frac{1}{3}.

Passo 5

Agora a diferença:
\int_{-\pi}^{\pi} \operatorname{sen}(3x)\,dx = F(\pi)-F(-\pi)=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=0.
Como verificação alternativa e intuição rápida: \operatorname{sen}(3x) é função ímpar (ou seja, \operatorname{sen}(3(-x))=-\operatorname{sen}(3x)), e a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-A,A] é sempre zero — isso confirma o resultado.

Resposta

0

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