Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas e o que é pedido:
- Integrando:
. - Intervalo de integração: de
até (intervalo simétrico em torno de zero). - Método exigido pelo enunciado: usar o Teorema Fundamental do Cálculo (calcular a primitiva/antiderivada e avaliar nos limites).
Passo 2
Enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo (forma usada aqui):
Se é contínua em
e
é uma antiderivada de
(ou seja,
para todo
em
), então
Se
Interpretação prática: para calcular uma integral definida, primeiro encontramos uma função
cuja derivada é
; depois avaliamos
nos extremos e fazemos a diferença
.
Passo 3
Vamos encontrar uma antiderivada
de
.
Método por substituição (passo a passo didático):
- Faça a substituição
. Então , ou . - A integral indefinida fica
- Sabendo que
, obtemos
Assim uma antiderivada é
Verificação rápida (usando a regra da cadeia):
, confirma que
é antiderivada de
.
Passo 4
Aplique o Teorema Fundamental do Cálculo com
,
,
:
Calcule
e
:
Usando
e
, obtemos
Portanto
Passo 5
Agora a diferença:
Como verificação alternativa e intuição rápida:
é função ímpar (ou seja,
), e a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico
é sempre zero — isso confirma o resultado.