Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{0}^{1} e^{v+1} d v

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} e^{v+1}\,dv.
Informações dadas:
  • O integrando é e^{v+1}.
  • Os limites de integração são v=0 (inferior) e v=1 (superior).
  • Quer-se o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Lembrete do Teorema Fundamental do Cálculo (forma prática que vamos usar): se f é contínua em [a,b] e F é uma primitiva (antiderivada) de f, isto é, F'(x)=f(x), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui devemos encontrar uma primitiva de f(v)=e^{v+1} e depois avaliar nos limites 0 e 1.

Passo 3

Observação útil sobre a função exponencial: para qualquer constante c vale
e^{x+c} = e^{c}\,e^{x}.
Aplicando isso ao nosso integrando com c=1 obtemos
e^{v+1} = e^{1}\,e^{v} = e\,e^{v}.
Essa fatoração é prática porque a primitiva de e^{v} é simplesmente e^{v}.

Passo 4

Usando linearidade da integral (constante pode sair da integral) e a primitiva de e^{v}:
\int_{0}^{1} e^{v+1}\,dv = \int_{0}^{1} e\,e^{v}\,dv = e \int_{0}^{1} e^{v}\,dv.
Uma primitiva de e^{v} é e^{v}. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{1} e^{v}\,dv = \bigl[e^{v}\bigr]_{0}^{1} = e^{1}-e^{0} = e-1.

Passo 5

Voltando ao fator e que estava fora da integral:
\int_{0}^{1} e^{v+1}\,dv = e\cdot (e-1) = e^{2}-e.

Passo 6

Verificação rápida (checar a primitiva): se definirmos F(v)=e^{v+1}, então
F'(v) = \frac{d}{dv}e^{v+1} = e^{v+1},
logo F também é uma primitiva válida e, aplicando diretamente,
\bigl[e^{v+1}\bigr]_{0}^{1} = e^{2}-e^{1} = e^{2}-e,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

e^{2}-e

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