Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{1}^{4}(2 x+5 \sqrt{x}) d x

Passo 1

O enunciado dá a integral definida no intervalo [1,4] da função 2x+5\sqrt{x}. Ou seja:
\int_{1}^{4}(2x+5\sqrt{x})\,dx
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral definida (um único número).

Passo 2

Ideia geral e ferramentas que vamos usar (explicado passo a passo, estilo professor-amigo).
  • A integral definida \int_{a}^{b} f(x)\,dx pode ser calculada se encontrarmos uma primitiva (antiderivada) F(x) de f(x), isto é, uma função tal que F'(x)=f(x). Então:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Isto é o Teorema Fundamental do Cálculo. Aqui a e b são os limites da integral (neste exercício a=1 e b=4), f(x) é a função integranda e F(x) é qualquer antiderivada de f(x).
  • Regras úteis que vamos aplicar:
    1. Linearidade: \displaystyle \int (u(x)+v(x))\,dx = \int u(x)\,dx + \int v(x)\,dx.
    2. Constante fator: \displaystyle \int c\cdot u(x)\,dx = c\int u(x)\,dx, para constante c.
    3. Regra da potência (antiderivada): para n\neq -1,
    \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,onde C é constante de integração. Aqui n é um número real que indica a potência de x.
Explicando a regra da potência de um jeito prático: se você tem x^2, a primitiva é \dfrac{x^{3}}{3} porque ao derivar \dfrac{x^{3}}{3} volta a dar x^2. Para x^{1/2} (ou \sqrt{x}) usamos a mesma regra com n=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Aplicando as regras ao nosso integrando.
Primeiro reescrevo \sqrt{x} como potência:
\sqrt{x} = x^{1/2}.
Então a integral fica, pela linearidade:
\int_{1}^{4}(2x+5\sqrt{x})\,dx = \int_{1}^{4}2x\,dx + \int_{1}^{4}5x^{1/2}\,dx.
Usando a regra do fator constante:
\int_{1}^{4}2x\,dx = 2\int_{1}^{4}x\,dx, \qquad \int_{1}^{4}5x^{1/2}\,dx = 5\int_{1}^{4}x^{1/2}\,dx.
Agora calculamos antiderivadas termo a termo usando a regra da potência.
  • Para x temos n=1, logo
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C.
Multiplicando por 2:
2\int x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2} = x^{2}.
Ou seja, uma antiderivada de 2x é x^{2}.
  • Para x^{1/2} temos n=\tfrac{1}{2}, então
\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C.
Multiplicando por 5:
5\int x^{1/2}\,dx = 5\cdot\frac{2}{3}x^{3/2} = \frac{10}{3}x^{3/2}.
Portanto, uma antiderivada F(x) do integrando 2x+5\sqrt{x} é
F(x) = x^{2} + \frac{10}{3}x^{3/2}.
(Se quiser, pode acrescentar uma constante +C, mas ela cancela ao avaliar a integral definida.)

Passo 4

Avaliar a antiderivada nos limites 1 e 4 e subtrair: \int_{1}^{4} f(x)\,dx = F(4)-F(1).
Calcule F(4):
F(4) = 4^{2} + \frac{10}{3}\,4^{3/2}.
Calculando as potências: 4^{2}=16. Para 4^{3/2} pense como (\sqrt{4})^{3} ou 4\cdot\sqrt{4}; \sqrt{4}=2, então 4^{3/2}=2^{3}=8.
Logo
F(4)=16 + \frac{10}{3}\cdot 8 = 16 + \frac{80}{3}.
Colocando em denominador comum 3: 16=\dfrac{48}{3}, então
F(4)=\frac{48}{3} + \frac{80}{3} = \frac{128}{3}.
Calcule F(1):
F(1) = 1^{2} + \frac{10}{3}\,1^{3/2} = 1 + \frac{10}{3} = \frac{3}{3} + \frac{10}{3} = \frac{13}{3}.
Agora a diferença:
F(4)-F(1) = \frac{128}{3} - \frac{13}{3} = \frac{115}{3}.

Passo 5

Checagem rápida (boa prática): derivando F(x)=x^{2}+\dfrac{10}{3}x^{3/2} obtemos F'(x)=2x + \dfrac{10}{3}\cdot \dfrac{3}{2} x^{1/2} = 2x + 5x^{1/2}, que é exatamente o integrando. Portanto a antiderivada está correta e o cálculo da integral definida está consistente.

Resposta

\dfrac{115}{3}

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