Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
Passo 1
O enunciado dá a integral definida no intervalo
da função
. Ou seja:
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral definida (um único número).
Passo 2
Ideia geral e ferramentas que vamos usar (explicado passo a passo, estilo professor-amigo).
- A integral definida
pode ser calculada se encontrarmos uma primitiva (antiderivada) de , isto é, uma função tal que . Então:
Isto é o Teorema Fundamental do Cálculo. Aqui
e
são os limites da integral (neste exercício
e
),
é a função integranda e
é qualquer antiderivada de
.
- Regras úteis que vamos aplicar:
- Linearidade:
. - Constante fator:
, para constante . - Regra da potência (antiderivada): para
,
onde é constante de integração. Aqui é um número real que indica a potência de . - Linearidade:
Explicando a regra da potência de um jeito prático: se você tem
, a primitiva é
porque ao derivar
volta a dar
. Para
(ou
) usamos a mesma regra com
.
Passo 3
Aplicando as regras ao nosso integrando.
Primeiro reescrevo como potência:
Primeiro reescrevo
Então a integral fica, pela linearidade:
Usando a regra do fator constante:
Agora calculamos antiderivadas termo a termo usando a regra da potência.
- Para
temos , logo
Multiplicando por
:
Ou seja, uma antiderivada de
é
.
- Para
temos , então
Multiplicando por
:
Portanto, uma antiderivada
do integrando
é
(Se quiser, pode acrescentar uma constante
, mas ela cancela ao avaliar a integral definida.)
Passo 4
Avaliar a antiderivada nos limites
e
e subtrair:
.
Calcule
:
Calculando as potências:
. Para
pense como
ou
;
, então
.
Logo
Logo
Colocando em denominador comum
:
, então
Calcule
:
Agora a diferença:
Passo 5
Checagem rápida (boa prática): derivando
obtemos
, que é exatamente o integrando. Portanto a antiderivada está correta e o cálculo da integral definida está consistente.