Expresse f(x)=\frac{1}{2+x} como série de potência.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a função f(x)=\frac{1}{2+x} como uma série de potência.
Informações dadas: a expressão explícita de f(x) é \frac{1}{2+x}.
O que precisamos entregar: uma expressão do tipo soma em potências de x (uma série de potência centrada em 0, salvo indicação contrária) que seja igual a f(x) quando a série converge.

Passo 2

Lembra do que é a série geométrica e quando ela vale? A fórmula básica é
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty} r^{n},
válida para |r|<1. Aqui r é a quantidade que estamos elevando a potências e somando; a desigualdade |r|<1 garante que os termos vão a zero e a soma infinita converge. Essa fórmula é a ferramenta que vamos usar: transformar \frac{1}{2+x} numa expressão da forma \frac{1}{1-r}.

Passo 3

Vamos manipular \frac{1}{2+x} para encaixar na forma \frac{1}{1-r}. Primeiro fatoramos 2 no denominador:
\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{x}{2}}.
Agora escrevemos 1+\frac{x}{2} como 1-(-\frac{x}{2}). Logo
\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-(-\tfrac{x}{2})}.
Aqui identificamos r=-\tfrac{x}{2}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da série geométrica com r=-\tfrac{x}{2}. Como a fórmula diz \frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}, temos
\frac{1}{1-(-\tfrac{x}{2})}=\sum_{n=0}^{\infty} \left(-\tfrac{x}{2}\right)^{n}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que estava fora,
\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \left(-\tfrac{x}{2}\right)^{n}.

Passo 5

Agora simplificamos o termo geral. Para cada n,
\frac{1}{2}\left(-\tfrac{x}{2}\right)^{n}=\frac{1}{2}\cdot(-1)^{n}\frac{x^{n}}{2^{n}}=\frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}}x^{n}.
Portanto a série de potência fica
\frac{1}{2+x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}}x^{n}.
Isso já é uma série de potência centrada em 0. Os coeficientes são a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}}.

Passo 6

Precisamos indicar onde essa série converge. A condição da série geométrica exige |r|<1, ou seja \left|-\tfrac{x}{2}\right|<1. Isso dá
\frac{|x|}{2}<1\quad\Rightarrow\quad |x|<2.
Assim o raio de convergência é 2 e o intervalo (no caso real) de convergência é (-2,2). Podemos checar rapidamente os extremos: em x=2 os termos não vão a zero (logo diverge) e em x=-2 a própria função é indefinida; portanto os extremos não entram.

Passo 7

Dicas para a prova (rápido e prático): quando vir uma função racional do tipo \frac{1}{a+bx}, tente fatorar a e escrever como \frac{1}{a}\cdot\frac{1}{1-(-\frac{b}{a}x)} para aplicar a série geométrica. Identifique r e lembre-se de verificar |r|<1 para obter o raio de convergência. Aqui fizemos exatamente isso com a=2 e b=1.

Resposta

\frac{1}{2+x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}}x^{n}
\text{Convergência para }|x|<2.ê

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