A tabela abaixo exibe o rendimento (em \mathrm{Km} / \mathrm{KWH} ) em funçao da velocidade ( \mathrm{em} \mathrm{Km} / \mathrm{H} ) de um veiculo electrico recentemente lançado no mercado (dados ficticios)
Velocidade (\mathrm{Km} / \mathrm{H}) 50 75 100 125
Rendimento (\mathrm{Km} / \mathrm{KWH}) 15,0 12,0 10,0 8,0
Utilizando todos os dados fornecidos, estime o rendimento do veículo a 90 \mathrm{Km} / \mathrm{H}.

Passo 1

O enunciado fornece o rendimento (em \mathrm{Km/KWh}) de um veículo elétrico em quatro velocidades distintas e pede para estimar o rendimento em 90, \mathrm{Km/H}. Como temos quatro pontos, vamos usar interpolação polinomial de grau 3 (método de Newton) para aproveitar todos os dados.

Passo 2

Para aplicar o método de Newton com nós igualmente espaçados, definimos
t = \frac{x - 50}{25},
de modo que as velocidades
x_0=50,\;x_1=75,\;x_2=100,\;x_3=125
viram
t_0=0,\;t_1=1,\;t_2=2,\;t_3=3
e os rendimentos correspondentes são
y_0=15,\;y_1=12,\;y_2=10,\;y_3=8.
Agora calculamos as diferenças divididas: \displaystyle \Delta y_0 = y_1 - y_0 = 12 - 15 = -3,\quad \Delta y_1 = y_2 - y_1 = -2,\quad \Delta y_2 = y_3 - y_2 = -2. \displaystyle \delta^2 y_0 = \Delta y_1 - \Delta y_0 = (-2) - (-3) = 1,\quad \delta^2 y_1 = \Delta y_2 - \Delta y_1 = 0. \displaystyle \delta^3 y_0 = \delta^2 y_1 - \delta^2 y_0 = 0 - 1 = -1.

Passo 3

O polinômio de Newton nessa base fica
Q(t) = y_0 \;+\; (\Delta y_0)\,t \;+\;\frac{\delta^2 y_0}{2!}\,t(t-1)\;+\;\frac{\delta^3 y_0}{3!}\,t(t-1)(t-2).
Substituindo os valores obtidos, obtemos
Q(t) = 15 \;-\;3\,t \;+\;\tfrac12\,t(t-1)\;-\;\tfrac16\,t(t-1)(t-2).

Passo 4

Para x=90 temos
t = \frac{90 - 50}{25} = 1,6.
Logo,
Q(1,6) = 15 - 3\cdot1,6 + \tfrac12\cdot1,6\cdot0,6 - \tfrac16\cdot1,6\cdot0,6\cdot(-0,4)
= 15 - 4,8 + 0,48 + 0,064 = 10,744.

Resposta

O rendimento estimado a 90, \mathrm{Km/H} é aproximadamente \,10,744, \mathrm{Km/KWh}.

Exercícios relacionados