Exercício 3.22 Considere o espaço vetorial real \mathbb{R}^{3} e os subespaços gerados
U=[(1,0,0),(1,1,1)] \quad e \quad W=[(0,1,0),(0,0,1)]
Determine um sistema de geradores para o subespaço V=U \cap W.

Passo 1

O enunciado pede o subespaço
V = U \cap W
onde
U = \bigl[(1,0,0),(1,1,1)\bigr] \quad\text{e}\quad W = \bigl[(0,1,0),(0,0,1)\bigr]
ou seja, precisamos parametrizar U e W e achar todos os vetores que pertencem aos dois simultaneamente.

Passo 2

Parametrizamos U. Todo vetor de U é combinação linear de (1,0,0) e (1,1,1), isto é, existem a,b\in\mathbb{R} tais que
(a, b)\mapsto a\,(1,0,0)+b\,(1,1,1) = (a+b,\;b,\;b).
Logo
U = \{(a+b,b,b)\mid a,b\in\mathbb{R}\}.

Passo 3

Parametrizamos W. Todo vetor de W é combinação linear de (0,1,0) e (0,0,1), ou seja, existem c,d\in\mathbb{R} tais que
(c,d)\mapsto c\,(0,1,0)+d\,(0,0,1) = (0,\;c,\;d).
Para estar em V=U\cap W, devemos ter
(a+b,b,b) = (0,c,d).
Comparando coordenadas, vem
a + b = 0,\quad b = c,\quad b = d.
Daí a=-b e o vetor comum é
(0,b,b) = b\,(0,1,1).
Portanto
V = \{\,b\,(0,1,1)\mid b\in\mathbb{R}\}.

Resposta

Um sistema de geradores para V é
\{(0,1,1)\},
isto é, V = \mathrm{span}\{(0,1,1)\}.

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