Repita o exercício anterior, considerando agora u=(x1, y1) e v=(x2, y2) e o produto interno ponderado lang<= u, vrang<==3 x1 x2+5 y1 y2.
Sejam lang<= u, vrang<= o produto interno ponderado em R^2 lang<= u, vrang<==3 x1 x2+5 y1 y2 e u=(1,1), v=(3,2), w=(0-1) e k=3. Calcule:
a) lang<= u, vrang<=
b) lang<= k u, vrang<=
c) lang<= u+v, wrang<=
d) |v|
e) |u-k v|

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com produtos internos ponderados no espaço R^2. O produto interno dado é lang<= u, vrang<= = 3x1x2 + 5y1y2, onde u = (x1, y1) e v = (x2, y2). Temos os vetores u = (1, 1), v = (3, 2), w = (0, -1) e um escalar k = 3. Vamos precisar usar fórmulas de produto interno e norma para resolver os itens a) até e).

Passo 2

Vamos resolver a parte a): Calcular lang<= u, vrang<=.
Teoria Aplicada: O produto interno ponderado é dado por lang<= u, vrang<= = 3x1x2 + 5y1y2. Basta substituir os valores dos componentes dos vetores u e v na fórmula.
Cálculo:
lang<= u, vrang<= = 3(1)(3) + 5(1)(2) = 9 + 10 = 19

Passo 3

Agora, a parte b): Calcular lang<= k cdot u, vrang<=.
Teoria Aplicada: Quando multiplicamos um vetor por um escalar k, cada componente do vetor é multiplicada por k. Depois, aplicamos o produto interno.
Cálculo:
k cdot u = 3 cdot (1, 1) = (3, 3)
lang<= k cdot u, vrang<= = 3(3)(3) + 5(3)(2) = 27 + 30 = 57

Passo 4

Seguimos para a parte c): Calcular lang<= u + v, wrang<=.
Teoria Aplicada: Primeiro, somamos os vetores u e v. Depois, aplicamos o produto interno com o vetor w.
Cálculo:
u + v = (1 + 3, 1 + 2) = (4, 3)
lang<= u + v, wrang<= = 3(4)(0) + 5(3)(-1) = 0 - 15 = -15

Passo 5

Vamos para a parte d): Calcular |v|.
Teoria Aplicada: A norma de um vetor é a raiz quadrada do produto interno dele consigo mesmo. Assim, |v| = raizlang<= v, vrang<=.
Cálculo:
lang<= v, vrang<= = 3(3)(3) + 5(2)(2) = 27 + 20 = 47
|v| = raiz47 approx 6,855

Passo 6

Por fim, a parte e): Calcular |u - k cdot v|.
Teoria Aplicada: Primeiro, subtraímos o vetor k cdot v do vetor u. Depois, calculamos a norma desse novo vetor.
Cálculo:
k cdot v = 3 cdot (3, 2) = (9, 6)
u - k cdot v = (1 - 9, 1 - 6) = (-8, -5)
lang<= u - k cdot v, u - k cdot vrang<= = 3(-8)(-8) + 5(-5)(-5) = 192 + 125 = 317
|u - k cdot v| = raiz317 approx 17,80

Resposta

a) lang<= u, vrang<= = 19
b) lang<= k cdot u, vrang<= = 57
c) lang<= u + v, wrang<= = -15
d) |v| approx 6,855
e) |u - k cdot v| approx 17,80

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