Exercício 17:

Enuncie e demonstre o equivalente do teorema da substituição para a substituição simultânea por equivalentes.

Passo 1

Esse exercício trata de limites e equivalentes de funções e pede a versão do teorema da substituição (ou composição) quando substituímos simultaneamente várias funções por seus equivalentes.
Vamos primeiro lembrar o que significa “f(u)\x7fg(u) quando u\x7f→u₀”: quer dizer que
limuto u₀ f(u)g(u) = 1

Passo 2

Enunciado do teorema para n variáveis: sejam phi(u1,dots,un) e psi(u1,dots,un) definidas em torno de (L1,dots,Ln), com psi(u1,dots,un)neq0 nessa vizinhança. Se
phi(u1,dots,un) sim psi(u1,dots,un) quando (u1,dots,un)to(L1,dots,Ln),
e se temos funções fi(x) tais que fi(x)to Li quando xto x0 para todo i=1,dots,n, então

Passo 3

Demonstração: pela hipótese de equivalência temos
lim(u1,dots,un)to(L1,dots,Ln) phi(u1,dots,un)psi(u1,dots,un) = 1
Como fi(x)to Li, o par (f1(x),dots,fn(x)) tende a (L1,dots,Ln). Pela propriedade de limite de composição,
Isto mostra exatamente que

Passo 4

Portanto, podemos substituir simultaneamente cada variável pelo seu equivalente dentro de uma função de várias variáveis, sem alterar o equivalente global.

Resposta

Sejam phi(u1,dots,un) e psi(u1,dots,un) definidas num entorno de (L1,dots,Ln) com psi(u1,dots,un)neq0. Se
phi(u1,dots,un)simpsi(u1,dots,un)quando (u1,dots,un)to(L1,dots,Ln),
e se fi(x)to Li para todo i=1,dots,n quando xto x0, então

Exercícios relacionados