Exercício 17:
Enuncie e demonstre o equivalente do teorema da substituição para a substituição simultânea por equivalentes.
Passo 1
Esse exercício trata de limites e equivalentes de funções e pede a versão do teorema da substituição (ou composição) quando substituímos simultaneamente várias funções por seus equivalentes.
Vamos primeiro lembrar o que significa “f(u)\x7fg(u) quando u\x7f→u₀”: quer dizer que
Vamos primeiro lembrar o que significa “f(u)\x7fg(u) quando u\x7f→u₀”: quer dizer que
Passo 2
Enunciado do teorema para n variáveis: sejam
e
definidas em torno de
, com
nessa vizinhança. Se
e se temos funções
Passo 3
Demonstração: pela hipótese de equivalência temos
Como
Isto mostra exatamente que
Passo 4
Portanto, podemos substituir simultaneamente cada variável pelo seu equivalente dentro de uma função de várias variáveis, sem alterar o equivalente global.
Resposta
Sejam
e
definidas num entorno de
com
. Se
e se