Questão 20 pontos
Calcular a distância do ponto P(2,1,1) à reta r: y-22=z+3=-x1

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P(2,1,1) a uma reta r no espaço cujo esboço é dado por
y-22 ;=; z+3 ;=;-x1
O conteúdo aqui é “distância ponto–reta em R^3”, que utilizamos pela fórmula
d = |,(P - Q)times v||v|,
onde Q é um ponto qualquer da reta e v seu vetor diretor.

Passo 2

Parametrizamos a reta fixando o parâmetro comum t:
y-22=t, z+3=t, -x1=t
Dessa forma
y = 2t+2, z = t-3, x = -t
Um ponto em r é, por exemplo,
Q=(0,2,-3)(tomando t=0),
e o vetor diretor é
v=(-1,2,1)

Passo 3

Formamos o vetor PQ=P-Q:
PQ = (2,1,1) - (0,2,-3) = (2,,-1,,4)

Passo 4

Calculamos o produto vetorial
PQtimesv = (2,-1,4)times(-1,2,1)
Fazendo a determinação por componentes,
PQtimesv = l(-1cdot1 - 4cdot2,,-l(2cdot1 - 4cdot(-1)r),,2cdot2 - (-1)cdot(-1)r) = (-9,,-6,,3)

Passo 5

Agora obtemos as normas:
|,PQtimesv| = raiz(-9)^2+(-6)^2+3^2 = raiz81+36+9 = raiz126 =3raiz14,
|v| = raiz(-1)^2+2^2+1^2 = raiz6
Logo a distância é
d = 3raiz14raiz6 =3raiz146 =3raiz73 =raiz21

Resposta

raiz21

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