Exercício 17 Resolva o seguinte sistema de equações dado por
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema linear não-homogêneo de 1.ª ordem
ou seja, na forma matricial
com
O conteúdo aqui é resolver Sistemas Lineares usando (1) solução homogênea via autovalores e autovetores (neste caso há autovalor duplo e vetor generalizado) e (2) solução particular por coeficientes indeterminados.]
Passo 2
Começamos pela parte homogênea
O polinômio característico é
logo há autovalor
de multiplicidade 2.
Para resolvemos
Para
Como há apenas um autovetor, buscamos um vetor generalizado
tal que
Escolhendo por exemplo
, de fato
.
Assim, a solução homogênea fica
Assim, a solução homogênea fica
i.e.
Passo 3
Agora procuramos solução particular
logo
Plugando em
obtemos o sistema para os coeficientes:
Igualando coeficientes de ,
,
,
.
Portanto
Portanto
Passo 4
A solução geral é
Resposta
onde
são constantes de integração.