Exercício 17 Resolva o seguinte sistema de equações dado por
l x1^prime=-x1(t)+x2(t)+t x2^prime=-x1(t)-3 x2(t)

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear não-homogêneo de 1.ª ordem
x1'(t) = -,x1(t) + x2(t) + t, x2'(t) = -,x1(t) - 3,x2(t),
ou seja, na forma matricial
X' = A,X + f(t),
com
A = -1 & 1[6pt] -1 & -3, f(t)=t[3pt]0
O conteúdo aqui é resolver Sistemas Lineares usando (1) solução homogênea via autovalores e autovetores (neste caso há autovalor duplo e vetor generalizado) e (2) solução particular por coeficientes indeterminados.]

Passo 2

Começamos pela parte homogênea
X' = A,X
O polinômio característico é
det(A-lambda I) = det-1-lambda & 1[3pt]-1 & -3-lambda = (lambda+1)(lambda+3)+1 = (lambda+2)^2,
logo há autovalor lambda=-2 de multiplicidade 2.
Para lambda=-2 resolvemos
(A + 2I)v = 0 ;Longrightarrow; 1 & 1[3pt]-1 & -1v=0 ;Longrightarrow; v = 1-1
Como há apenas um autovetor, buscamos um vetor generalizado w tal que
(A+2I),w = v
Escolhendo por exemplo w=(1,0)^T, de fato ,(A+2I)w=(1,1)^T=v.
Assim, a solução homogênea fica
Xh(t) = C1e^-2t,v + C2e^-2tl(v,t + wr),
i.e.
x1,h(t) = e^-2tl(C1 + C2,t + C2r), x2,h(t) = e^-2tl(-C1 - C2,tr) ]

Passo 3

Agora procuramos solução particular
logo
Plugando em obtemos o sistema para os coeficientes:
Igualando coeficientes de , , , .
Portanto
]

Passo 4

A solução geral é
X(t)=Xh(t)+Xp(t)

Resposta

x1(t) = e^-2tl(C1 + C2,t + C2r) + tfrac34,t - tfrac12,
x2(t) = e^-2tl(-C1 - C2,tr) -tfrac14,t + tfrac14,
onde C1,C2 são constantes de integração.

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