Exercício 17 Seja
, definimos a potência
, para cada
por:
-
;
-
.
Mostre que, para todo
,
, para
.
Passo 1
O enunciado define a potência de
recursivamente por
e pede para mostrar que, para quaisquer
e todo
, vale
O método apropriado é a indução em
, usando a definição recursiva de potência e as propriedades associativa e comutativa da multiplicação em
.
Passo 2
Caso base
. Pela definição,
e também
Logo
, estabelecendo o caso base.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que para um certo
já seja válida
Passo 4
Passo indutivo. Precisamos mostrar que
Pela definição de potência,
Usando a hipótese de indução substituímos
por
:
Pela associatividade e comutatividade da multiplicação em
podemos agrupar e reordenar os fatores assim:
Isso prova o passo indutivo.
Passo 5
Pelo Princípio da Indução Matemática, concluímos que para todo
vale
Resposta
Para todo
e
,