Exercício 17 Seja a in N, definimos a potência a^n, para cada n in N por:
  • a^1=a;
  • a^n+1=a^n cdot a.
Mostre que, para todo m, n in N,
(a cdot b)^n=a^n cdot b^n, para b in N.

Passo 1

O enunciado define a potência de ainN recursivamente por
a^1 = a, a^n+1 = a^ncdot a,
e pede para mostrar que, para quaisquer a,binN e todo ninN, vale
(acdot b)^n ;=; a^n cdot b^n
O método apropriado é a indução em n, usando a definição recursiva de potência e as propriedades associativa e comutativa da multiplicação em N.

Passo 2

Caso base n=1. Pela definição,
(acdot b)^1 = acdot b,
e também
a^1cdot b^1 = acdot b
Logo (acdot b)^1 = a^1cdot b^1, estabelecendo o caso base.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que para um certo ninN já seja válida
(acdot b)^n = a^ncdot b^n

Passo 4

Passo indutivo. Precisamos mostrar que
(acdot b)^n+1 = a^n+1cdot b^n+1
Pela definição de potência,
(acdot b)^n+1 = (acdot b)^n ;cdot;(acdot b)
Usando a hipótese de indução substituímos (acdot b)^n por a^ncdot b^n:
(acdot b)^n+1 = l(a^ncdot b^nr)cdot (acdot b)
Pela associatividade e comutatividade da multiplicação em N podemos agrupar e reordenar os fatores assim:
l(a^ncdot b^nr)cdot (acdot b) = l(a^ncdot ar),l(b^ncdot br) = a^n+1cdot b^n+1
Isso prova o passo indutivo.

Passo 5

Pelo Princípio da Indução Matemática, concluímos que para todo ninN vale
(acdot b)^n = a^ncdot b^n

Resposta

Para todo ninN e a,binN,
(acdot b)^n = a^ncdot b^n

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