Suponha f: R^2 R uma função diferenciável e que para todo t in R tem-se f(3 t, t^3)=arctan (t). Calcule partial fpartial x(3,1) admitindo partial fpartial y(3,1)=2. Determine a equação vetorial da reta normal ao gráfico de (3,1, f(3,1)).
R.: partial fpartial x(3,1)=-116 e r:(x, y, z)=(3,1, pi4)+t(11,-12,6), t in R.

Passo 1

O enunciado dá uma função diferenciável f:R^2toR tal que, para todo tinR,
f(3t,,t^3)=arctan(t)
Pede-se partial fpartial x(3,1) sabendo que partial fpartial y(3,1)=2 e a reta normal ao gráfico de z=f(x,y) no ponto l(3,1,f(3,1)r).

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia à identidade f(3t,t^3)=arctan(t). Derivando ambos os lados em relação a t vem
ddtf(3t,t^3) =fx(3t,t^3)cdot 3 ;+; fy(3t,t^3)cdot 3t^2 =11+t^2

Passo 3

Em t=1 temos (3t,t^3)=(3,1), e a derivada do lado direito é tfrac11+1^2=tfrac12. Logo
3,fx(3,1)+3cdot 1^2,fy(3,1)=tfrac12
Substituindo fy(3,1)=2,
3,fx(3,1)+3cdot2=tfrac12 Longrightarrow 3,fx(3,1)=tfrac12-6=-tfrac112 Longrightarrow fx(3,1)=-tfrac116

Passo 4

Para completar, note que em t=1 vale
f(3,1)=f(3cdot1,1^3)=arctan(1)=pi4

Passo 5

O gráfico de z=f(x,y) é dado implicitamente por F(x,y,z)=f(x,y)-z=0. Seu vetor normal em (3,1,pi/4) é
nabla Fl(3,1,tfracpi4r) =l(fx(3,1),,fy(3,1),,-1r) =l(-tfrac116,,2,,-1r)
Multiplicando por -6 (escala livre) obtemos a direção (11,-12,6). Assim, a reta normal é
(x,y,z)=(3,1,tfracpi4)+t,(11,-12,6), tinR

Resposta

partial fpartial x(3,1) = -116
r:,(x,y,z) = (3,1,tfracpi4) + t,(11,-12,6),; t in R

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