Exercício 18 Seja a in N com a>1, mostre que a função f: N N dada por f(n)=a^n é injetiva.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
fcolon NtoN, f(n)=a^n
é injetiva, isto é, que f(n)=f(m) implica n=m. Vamos usar propriedade de potências em N: se n>m então a^n>a^m, pois a>1.

Passo 2

Suponha que f(n)=f(m). Então
a^n = a^m
Sem perder generalidade, considere o caso n>= m.

Passo 3

Podemos escrever
a^n = a^m cdot a^,n-m
Da igualdade a^mcdot a^,n-m=a^m segue, cancelando o fator a^m (que é não-zero),
a^,n-m=1

Passo 4

Como a>1 e estamos em naturais, a única maneira de uma potência de a ser igual a 1 é ter expoente zero. Logo
n-m = 0 Longrightarrow n = m

Resposta

Portanto, f(n)=f(m) implica n=m, isto é, f é injetiva.

Exercícios relacionados