Exercício 18 Seja
com
, mostre que a função
dada por
é injetiva.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é injetiva, isto é, que
implica
. Vamos usar propriedade de potências em
: se
então
, pois
.
Passo 2
Suponha que
. Então
Sem perder generalidade, considere o caso
.
Passo 3
Podemos escrever
Da igualdade
segue, cancelando o fator
(que é não-zero),
Passo 4
Como
e estamos em naturais, a única maneira de uma potência de
ser igual a
é ter expoente zero. Logo
Resposta
Portanto,
implica
, isto é,
é injetiva.