Um objeto se move ao longo de um arco da cicloide parametrizado por r(t)=(t+sin t) i+(1+cos t) j, para 0 <= t <= 2 pi. Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y)=x i+(y-2) j sobre este objeto durante o seu movimento.

Passo 1

Enunciado: o objeto se move ao longo da cicloide parametrizada por r(t)=(t+sin t),i+(1+cos t),j para 0<= t<=2pi, e o campo de força é F(x,y)=x,i+(y-2),j. Conteúdo: integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada. Vamos precisar calcular F(r(t)), r,'(t), o produto escalar e integrar de 0 a 2pi.

Passo 2

Primeiro, substituímos a curva em F(x,y) para obter F(r(t)). Como x=t+sin t e y=1+cos t, temos:
F(r(t))=(t+sin t),i+(1+cos t-2),j=(t+sin t),i+(cos t-1),j

Passo 3

Em seguida, calculamos a derivada da parametrização:
r,'(t)=ddtl(t+sin t,,1+cos tr)=(1+cos t),i+(-sin t),j

Passo 4

Agora, fazemos o produto escalar F(r(t))cdotr,'(t):
l(t+sin tr)(1+cos t)+(cos t-1)(-sin t)=t+tcos t+2sin t

Passo 5

Por fim, integramos de 0 a 2pi:
W=integral0^2pil(t+tcos t+2sin tr),dt
Separando em três integrais:
integral0^2pit,dt=2pi^2,integral0^2pitcos t,dt=0,integral0^2pi2sin t,dt=0

Passo 6

Somando os resultados, obtemos o trabalho total.

Resposta

2pi^2

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