Exercício 17. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes tais que X \sim N(0,1) e W ~ Gama(v/2, 1/2) \equiv \chi^{2}(v), mostre que
Y=\frac{X}{\sqrt{(W / v)}}
tem distribuição t-Student com v graus de liberdade, cuja a função de densidade é dada por:
f_{Y}(y)=\frac{\Gamma\left(\frac{v+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{v}{2}\right) \sqrt{(v \pi)}}\left(1+\frac{y^{2}}{v}\right)^{-\left(\frac{v+1}{2}\right)}, y \in \Re .
Passo 1
Resumo do enunciado: temos duas variáveis aleatórias independentes X\sim N(0,1) e W\sim\Gamma\bigl(\tfrac v2,\tfrac12\bigr), o que equivale a W\sim\chi^2(v). Definimos
\begin{cases} y = \dfrac{x}{\sqrt{w/v}},\\[6pt] t = w, \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x = y\sqrt{\tfrac t v},\\\ w = t. \end{cases}
O jacobiano é
\Bigl|\det\frac{\partial(x,w)}{\partial(y,t)}\Bigr| = \frac{\partial x}{\partial y}\cdot1 = \sqrt{\frac t v}.]