Exercício 17. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes tais que X \sim N(0,1) e W ~ Gama(v/2, 1/2) \equiv \chi^{2}(v), mostre que
Y=\frac{X}{\sqrt{(W / v)}}
tem distribuição t-Student com v graus de liberdade, cuja a função de densidade é dada por:
f_{Y}(y)=\frac{\Gamma\left(\frac{v+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{v}{2}\right) \sqrt{(v \pi)}}\left(1+\frac{y^{2}}{v}\right)^{-\left(\frac{v+1}{2}\right)}, y \in \Re .

Passo 1

Resumo do enunciado: temos duas variáveis aleatórias independentes X\sim N(0,1) e W\sim\Gamma\bigl(\tfrac v2,\tfrac12\bigr), o que equivale a W\sim\chi^2(v). Definimos
Y = \frac{X}{\sqrt{W/v}}
e queremos mostrar que a densidade de Y é
f_Y(y) = \frac{\Gamma\!\bigl(\tfrac{v+1}2\bigr)}{\Gamma\!\bigl(\tfrac v2\bigr)\sqrt{v\pi}} \Bigl(1+\frac{y^2}{v}\Bigr)^{-\frac{v+1}2}, \quad y\in\mathbb{R},
ou seja, Y tem distribuição t-Student com v graus de liberdade.

Passo 2

Escrevemos as densidades marginais de X e W. Como são independentes,
f_{X,W}(x,w) = f_X(x)\,f_W(w).
Sabemos que
f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\!\bigl(-\tfrac{x^2}{2}\bigr),
f_W(w) = \frac{1}{2^{v/2}\,\Gamma(\tfrac v2)} \,w^{\tfrac v2-1}\exp\!\bigl(-\tfrac w2\bigr), \quad w>0.

Passo 3

Consideramos a transformação
\begin{cases} y = \dfrac{x}{\sqrt{w/v}},\\[6pt] t = w, \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x = y\sqrt{\tfrac t v},\\\ w = t. \end{cases}
O jacobiano é
\Bigl|\det\frac{\partial(x,w)}{\partial(y,t)}\Bigr| = \frac{\partial x}{\partial y}\cdot1 = \sqrt{\frac t v}.]

Passo 4

A densidade conjunta de (Y,T) vale
f_{Y,T}(y,t) = f_{X,W}\bigl(x(y,t),\,w(y,t)\bigr)\;\Bigl|\det\frac{\partial(x,w)}{\partial(y,t)}\Bigr|.
Substituindo x=y\sqrt{t/v} e w=t e o jacobiano,
f_{Y,T}(y,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\!\Bigl(-\tfrac12\frac{y^2t}{v}\Bigr) \;\cdot \frac{1}{2^{v/2}\,\Gamma(\tfrac v2)} \,t^{\tfrac v2-1}e^{-t/2} \;\cdot\sqrt{\tfrac t v}.

Passo 5

Para obter f_Y(y) integramos em t\in(0,\infty):
f_Y(y) = \int_0^\infty f_{Y,T}(y,t)\,dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,2^{v/2}\,\Gamma(\tfrac v2)\,\sqrt v} \int_0^\infty t^{\tfrac v2-1+\tfrac12} \exp\!\Bigl(-\tfrac t2\bigl(1+\tfrac{y^2}{v}\bigr)\Bigr) \,dt.
Note que o integrando é da forma t^{\alpha-1}e^{-\beta t}, com \alpha=\tfrac{v+1}2 e \beta=\tfrac12\bigl(1+\tfrac{y^2}{v}\bigr).

Passo 6

Usamos a integral de Gamma:
\int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-\beta t}\,dt = \frac{\Gamma(\alpha)}{\beta^\alpha}.
Aqui isso dá
\int_0^\infty\cdots dt = \frac{\Gamma\bigl(\tfrac{v+1}2\bigr)} {\bigl(\tfrac12\,(1+\tfrac{y^2}{v})\bigr)^{\tfrac{v+1}2}} = 2^{\tfrac{v+1}2} \frac{\Gamma\bigl(\tfrac{v+1}2\bigr)} {\bigl(1+\tfrac{y^2}{v}\bigr)^{\tfrac{v+1}2}}.
Substituindo de volta em f_Y(y) e simplificando as potências de 2,
chegamos a
f_Y(y) = \frac{\Gamma\!\bigl(\tfrac{v+1}2\bigr)} {\Gamma\!\bigl(\tfrac v2\bigr)\sqrt{v\pi}} \Bigl(1+\tfrac{y^2}{v}\Bigr)^{-\tfrac{v+1}2},
que é exatamente a densidade t-Student com v graus de liberdade.

Resposta

f_Y(y) = \frac{\Gamma\!\bigl(\tfrac{v+1}2\bigr)} {\Gamma\!\bigl(\tfrac v2\bigr)\sqrt{v\pi}} \Bigl(1+\tfrac{y^2}{v}\Bigr)^{-\tfrac{v+1}2}, \quad y\in\mathbb{R}.

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