Exercício 1. Lança-se dois dados honestos e independentes. Seja X o resultado do primeiro dado e Y o resultado do segundo dado. Sejam T=X+Y e U=X-Y
(a) Calcule a função de probabilidade conjunta de Te U .
(b) Te U são independentes? Justifique.
(c) Calcule \operatorname{Cov}(\mathrm{T}, \mathrm{U}). Comente o resultado comparando com o item (b).

Passo 1

O enunciado: lançam-se dois dados honestos e independentes, X é o resultado do primeiro, Y do segundo. Definem-se T=X+Y e U=X-Y. Vamos achar
  1. a função de probabilidade conjunta p_{T,U}(t,u);
  2. se T e U são independentes;
  3. \Cov(T,U) e comparar com (2).
    Precisamos usar transformações de variáveis discretas e propriedades de independência e covariância.

Passo 2

Da transformação
t = x+y,\quad u = x-y
vemos a inversa
x = \frac{t+u}{2},\quad y = \frac{t-u}{2}.
Como (X,Y) é uniforme em \{1,\dots,6\}^2, vale \P(X=x,Y=y)=1/36 para x,y\in\{1,\dots,6\}. Logo
p_{T,U}(t,u) =\P\bigl(X=\tfrac{t+u}{2},\,Y=\tfrac{t-u}{2}\bigr) =\begin{cases} \dfrac{1}{36},&\text{se }\tfrac{t+u}{2}\in\{1,\dots,6\},\\ \tfrac{t-u}{2}\in\{1,\dots,6\},\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}

Passo 3

Para testar independência, bastar mostrar que em geral
\P(T=t,U=u)\neq\P(T=t)\,\P(U=u). Exemplo: t=2, u=0.
\P(T=2,U=0)=1/36, enquanto
\P(T=2)=1/36 e \P(U=0)=\P(X=Y)=6/36=1/6,
logo
\P(T=2)\,\P(U=0)=\frac{1}{36}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{216}\neq\frac{1}{36}.
Portanto, T e U não são independentes.

Passo 4

Usamos linearidade da covariância:
\Cov(T,U) =\Cov(X+Y,\,X-Y) =\Cov(X,X)-\Cov(X,Y)+\Cov(Y,X)-\Cov(Y,Y).
Como X e Y são independentes, \Cov(X,Y)=0, e
\Cov(X,X)=\Var(X), \Cov(Y,Y)=\Var(Y). Como \Var(X)=\Var(Y), vem
\Cov(T,U)=\Var(X)-\Var(Y)=0.
Logo, apesar de \Cov(T,U)=0, T e U não são independentes: são apenas não correlacionados.

Resposta

(a)
p_{T,U}(t,u)= \begin{cases} \dfrac{1}{36}, & \text{se } \dfrac{t+u}{2}\in\{1,\dots,6\}\\ \text{e}\\ \dfrac{t-u}{2}\in\{1,\dots,6\},\\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
(b) T e U não são independentes, pois em geral
\P(T=t,U=u)\neq\P(T=t)\,\P(U=u) (ex.: t=2,u=0).
(c) \Cov(T,U)=0. Contudo, T e U são dependentes, mostrando que covariância nula não implica independência.

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