Exercício 1. Lança-se dois dados honestos e independentes. Seja X o resultado do primeiro dado e Y o resultado do segundo dado. Sejam T=X+Y e U=X-Y
(a) Calcule a função de probabilidade conjunta de Te U .
(b) Te U são independentes? Justifique.
(c) Calcule \operatorname{Cov}(\mathrm{T}, \mathrm{U}). Comente o resultado comparando com o item (b).
Passo 1
O enunciado: lançam-se dois dados honestos e independentes, X é o resultado do primeiro, Y do segundo. Definem-se T=X+Y e U=X-Y. Vamos achar
a função de probabilidade conjunta p_{T,U}(t,u);
se T e U são independentes;
\Cov(T,U) e comparar com (2).
Precisamos usar transformações de variáveis discretas e propriedades de independência e covariância.
Passo 2
Da transformação
t = x+y,\quad u = x-y
vemos a inversa
x = \frac{t+u}{2},\quad y = \frac{t-u}{2}.
Como (X,Y) é uniforme em \{1,\dots,6\}^2, vale \P(X=x,Y=y)=1/36 para x,y\in\{1,\dots,6\}. Logo
Para testar independência, bastar mostrar que em geral \P(T=t,U=u)\neq\P(T=t)\,\P(U=u). Exemplo: t=2, u=0. \P(T=2,U=0)=1/36, enquanto \P(T=2)=1/36 e \P(U=0)=\P(X=Y)=6/36=1/6,
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