Exercício 2. Sejam X e Y variáveis aleatórias, ambas com média 0 e variância 1, e com coeficiente de correlação entre elas igual a \rho, \rho \neq 0. Seja T=X-\rho Y, calcule a esperança de T, a variância de T e o coeficiente de correlação entre T e Y.

Passo 1

O enunciado considera duas variáveis aleatórias X e Y com E[X]=E[Y]=0, Var(X)=Var(Y)=1
e correlação Corr(X,Y)=\rho (com \rho\neq0). Definimos
T = X - \rho\,Y.
Vamos usar as propriedades de esperança e variância de combinações lineares, além da definição de correlação.

Passo 2

Calcular E[T]. Pela linearidade da esperança,
E[T] = E[X-\rho\,Y] = E[X] - \rho\,E[Y] = 0 - \rho\cdot0 = 0.

Passo 3

Calcular \,Var(T). Para variância de combinação linear vale
Var(T) = Var(X - \rho\,Y) = Var(X) + \rho^{2}\,Var(Y) - 2\,\rho\,Cov(X,Y).
Como Var(X)=Var(Y)=1 e Cov(X,Y)=\rho, temos
Var(T) = 1 + \rho^{2}\cdot1 - 2\,\rho\cdot\rho = 1 + \rho^{2} - 2\rho^{2} = 1 - \rho^{2}.

Passo 4

Calcular Corr(T,Y). Primeiro a covariância
Cov(T,Y) = Cov(X-\rho\,Y,\;Y) = Cov(X,Y) - \rho\,Cov(Y,Y) = \rho - \rho\cdot1 = 0.
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Corr(T,Y) = \frac{Cov(T,Y)}{\sqrt{Var(T)}\,\sqrt{Var(Y)}} = \frac{0}{\sqrt{1-\rho^{2}}\;\cdot1} = 0.

Resposta

E[T]=0 Var(T)=1-\rho^{2} Corr(T,Y)=0

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