Exercício 17. Simplifique \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, com h \neq 0 para f(x) igual a
f(x)=x+7

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} com h \neq 0, quando f(x)=x+7.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x+7.
  • A expressão a simplificar é \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}.
  • Está explícito que h\neq 0 (isso evita divisão por zero).

Passo 2

Entender o que significa \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}. Isso é a chamada razão de diferença entre os valores de f em x+h e em x, dividida por h. Em linguagem simples: mede a variação média de f quando x aumenta de x para x+h. Para simplificar, o procedimento padrão é calcular f(x+h) substituindo x por x+h na fórmula de f, depois subtrair f(x) e dividir por h.

Passo 3

Calcular f(x+h) por substituição direta na definição f(t)=t+7 (aqui t é a variável genérica; trocamos por x+h):
f(x+h) = (x+h)+7.

Passo 4

Escrever explicitamente o numerador f(x+h)-f(x) usando o cálculo do passo anterior e f(x)=x+7:
f(x+h)-f(x) = \bigl((x+h)+7\bigr) - \bigl(x+7\bigr).
Agora simplificar essa diferença passo a passo: remova parênteses e agrupe termos iguais:
\bigl(x+h+7\bigr) - \bigl(x+7\bigr) = x + h + 7 - x - 7.
Cancelar x com -x e 7 com -7, sobrando apenas
f(x+h)-f(x) = h.

Passo 5

Substituir o resultado do numerador na razão de diferença:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{h}{h}.
Como está dado que h\neq 0, pode-se simplificar \dfrac{h}{h}=1. Portanto a expressão se simplifica para 1.

Passo 6

Interpretação didática e exemplo numérico para fixar a ideia: para a função f(x)=x+7 a variação quando x aumenta em h é exatamente h (pois o termo constante 7 não muda). Assim a razão média de variação \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é sempre 1, independente de x e h (contanto que h\neq 0). Exemplo numérico: tome x=2 e h=0,1. Então
\frac{f(2+0,1)-f(2)}{0,1}=\frac{(2{,}1+7)-(2+7)}{0,1}=\frac{9{,}1-9}{0,1}=\frac{0{,}1}{0,1}=1.
Comentário extra útil na prova: para funções lineares da forma f(x)=ax+b, a razão de diferença \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é sempre a — aqui a=1.

Resposta

1

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