Exercício 24. Resolva as seguintes inequações:
\frac{x-2}{x-1}>x-3

Passo 1

Enunciado: Resolver a inequação \dfrac{x-2}{x-1}>x-3.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A expressão envolve uma fração racional com denominador x-1; portanto x\neq1 (valor proibido).
  • Deve-se encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem \dfrac{x-2}{x-1}>x-3.
  • A resposta final deve ser um conjunto (intervalos) de números reais.

Passo 2

Objetivo imediato: passar tudo para o mesmo lado e escrever a desigualdade como uma única fração para analisar o sinal.
Passo algébrico: subtrair x-3 dos dois lados para ter zero do lado direito:
\frac{x-2}{x-1}-(x-3)>0.
Colocando sobre o mesmo denominador (x-1):
\frac{x-2-(x-3)(x-1)}{x-1}>0.

Passo 3

Simplificar o numerador passo a passo:
(x-3)(x-1)=x^2-4x+3,
então
x-2-(x^2-4x+3)=x-2-x^2+4x-3=-x^2+5x-5.
Portanto a inequação fica
\frac{-x^2+5x-5}{x-1}>0.
Para manipular melhor, escrevo o numerador como negativo de um quadrático:
-x^2+5x-5=-(x^2-5x+5).

Passo 4

Agora precisamos estudar o sinal da fração
\frac{-(x^2-5x+5)}{x-1}.
Método: encontrar os pontos onde numerador ou denominador se anulam (esses pontos dividem a reta em intervalos) e analisar o sinal da expressão em cada intervalo. Os pontos críticos são as raízes do numerador e o ponto onde o denominador é zero.
Encontrar raízes do numerador (resolver x^2-5x+5=0) usando a fórmula quadrática:
\Delta=5^2-4\cdot1\cdot5=25-20=5.
As raízes são
x=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2}.
Valores aproximados para intuição: \dfrac{5-\sqrt{5}}{2}\approx1,381966 e \dfrac{5+\sqrt{5}}{2}\approx3,618034.
Pontos críticos (ordenados): x=1 (denominador nulo), x=\dfrac{5-\sqrt{5}}{2} e x=\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}.

Passo 5

Determinar o sinal do numerador e do denominador em cada intervalo.
  1. Sinal do numerador N(x)=-(x^2-5x+5).
  • A parábola q(x)=x^2-5x+5 tem coeficiente líder positivo, então q(x)>0 fora das raízes e q(x)<0 entre as raízes. Como N(x)=-q(x), segue:
    • N(x)<0 fora do intervalo \left(\dfrac{5-\sqrt{5}}{2},\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}\right);
    • N(x)>0 para x\in\left(\dfrac{5-\sqrt{5}}{2},\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}\right);
    • e N(x)=0 exatamente em x=\dfrac{5\pm\sqrt{5}}{2}.
  1. Sinal do denominador D(x)=x-1.
  • D(x)<0 para x<1.
  • D(x)>0 para x>1.
  • D(x)=0 em x=1 (valor proibido).
Agora juntamos sinais por intervalos definidos pelos pontos críticos: (-\infty,1), (1,\tfrac{5-\sqrt{5}}{2}), (\tfrac{5-\sqrt{5}}{2},\tfrac{5+\sqrt{5}}{2}), (\tfrac{5+\sqrt{5}}{2},\infty).
Determinação por teste (ou por argumento de continuidade):
  • Intervalo (-\infty,1): aqui D(x)<0. Como x<1<\tfrac{5-\sqrt{5}}{2}, o numerador está fora do intervalo entre raízes, portanto N(x)<0. Logo N/D é negativo dividido por negativo = positivo. Inequação satisfeita nesse intervalo.
  • Intervalo (1,\tfrac{5-\sqrt{5}}{2}): aqui D(x)>0. Para x nessa faixa, x<\tfrac{5-\sqrt{5}}{2} então N(x)<0. Logo N/D é negativo dividido por positivo = negativo. Inequação não satisfeita.
  • Intervalo (\tfrac{5-\sqrt{5}}{2},\tfrac{5+\sqrt{5}}{2}): aqui D(x)>0 e N(x)>0 (porque estamos entre as raízes). Positivo/positivo = positivo. Inequação satisfeita nesse intervalo.
  • Intervalo (\tfrac{5+\sqrt{5}}{2},\infty): aqui D(x)>0 e N(x)<0 (fora das raízes). Negativo/positivo = negativo. Inequação não satisfeita.
Observações sobre pontos finais: nos pontos onde N(x)=0 a fração vale 0, mas queremos estritamente >0, então esses pontos não entram. O ponto x=1 não pertence ao domínio, então também é excluído.

Passo 6

Concluir unindo os intervalos onde a expressão é positiva. São:
(-\infty,1)\quad\text{e}\quad\left(\dfrac{5-\sqrt{5}}{2},\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}\right),
ambos abertos nos extremos apropriados (inclusive 1 está excluído).

Resposta

\displaystyle (-\infty,1)\cup\left(\dfrac{5-\sqrt{5}}{2},\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}\right)

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