Exercício 24. Resolva as seguintes inequações:
Passo 1
Enunciado: Resolver a inequação
.
Informações dadas e o que é pedido:
- A expressão envolve uma fração racional com denominador
; portanto (valor proibido). - Deve-se encontrar todos os
que satisfazem . - A resposta final deve ser um conjunto (intervalos) de números reais.
Passo 2
Objetivo imediato: passar tudo para o mesmo lado e escrever a desigualdade como uma única fração para analisar o sinal.
Passo algébrico: subtrair
dos dois lados para ter zero do lado direito:
Colocando sobre o mesmo denominador
:
Passo 3
Simplificar o numerador passo a passo:
então
Portanto a inequação fica
Para manipular melhor, escrevo o numerador como negativo de um quadrático:
Passo 4
Agora precisamos estudar o sinal da fração
Método: encontrar os pontos onde numerador ou denominador se anulam (esses pontos dividem a reta em intervalos) e analisar o sinal da expressão em cada intervalo. Os pontos críticos são as raízes do numerador e o ponto onde o denominador é zero.
Encontrar raízes do numerador (resolver
) usando a fórmula quadrática:
As raízes são
Valores aproximados para intuição:
e
.
Pontos críticos (ordenados):
(denominador nulo),
e
.
Passo 5
Determinar o sinal do numerador e do denominador em cada intervalo.
- Sinal do numerador
.
- A parábola
tem coeficiente líder positivo, então fora das raízes e entre as raízes. Como , segue: -
fora do intervalo ; -
para ; - e
exatamente em .
-
- Sinal do denominador
.
-
para . -
para . -
em (valor proibido).
Agora juntamos sinais por intervalos definidos pelos pontos críticos:
,
,
,
.
Determinação por teste (ou por argumento de continuidade):
-
Intervalo
: aqui . Como , o numerador está fora do intervalo entre raízes, portanto . Logo é negativo dividido por negativo = positivo. Inequação satisfeita nesse intervalo. -
Intervalo
: aqui . Para nessa faixa, então . Logo é negativo dividido por positivo = negativo. Inequação não satisfeita. -
Intervalo
: aqui e (porque estamos entre as raízes). Positivo/positivo = positivo. Inequação satisfeita nesse intervalo. -
Intervalo
: aqui e (fora das raízes). Negativo/positivo = negativo. Inequação não satisfeita.
Observações sobre pontos finais: nos pontos onde
a fração vale
, mas queremos estritamente
, então esses pontos não entram. O ponto
não pertence ao domínio, então também é excluído.
Passo 6
Concluir unindo os intervalos onde a expressão é positiva. São:
ambos abertos nos extremos apropriados (inclusive
está excluído).