Exercício 17: Num supermercado há 2000 lâmpadas provenientes de 3 fábricas distintas X, Y,e Z X produziu 500, das quais 400 são boas. Y produziu 700, das quais 600 são boas e Z as restantes, das quais 500 são boas. Se sortearmos ao acaso uma das lâmpadas, nesse supermercado, qual a probabilidade:
a) de que seja boa? R:0,75
b) sortear uma lampada da fabrica Z, sabendo que ela é boa. R: 0,33

Passo 1

Resumindo o enunciado: num supermercado há 2000 lâmpadas de três fábricas X, Y e Z. A fábrica X produziu 500 lâmpadas, das quais 400 são boas; Y produziu 700 lâmpadas, das quais 600 são boas; o restante ( 2000-500-700=800) vem de Z, das quais 500 são boas. O que se pede é:
1. a probabilidade de a lâmpada sorteada ser boa;
2. a probabilidade de ela vir da fábrica Z dado que ela é boa.
Conteúdos usados: lei da probabilidade total e teorema de Bayes.

Passo 2

Para achar a probabilidade de a lâmpada ser boa usamos a lei da probabilidade total. Definindo B = “lâmpada é boa” e Fi = “vem da fábrica i”,
P(B)=sumiinX,Y,ZP(Fi),P(Bmid Fi)
Temos
P(FX)=5002000,;P(Bmid FX)=400500, P(FY)=7002000,;P(Bmid FY)=600700,
P(FZ)=8002000,;P(Bmid FZ)=500800
O número total de lâmpadas boas é 400+600+500=1500, então
P(B)=15002000=0,75

Passo 3

Para encontrar a probabilidade de vir de Z sabendo que é boa, usamos Bayes:
P(FZmid B)=P(Bmid FZ),P(FZ)P(B)
Já temos P(Bmid FZ),P(FZ)=500800cdot8002000=5002000=0,25. Dividindo por P(B)=0,75,
P(FZmid B)=0,250,75=13approx0,33

Resposta

a) ,0,75
b) ,0,33

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