b) f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1, & -L \leq x<0, \\\\ 0, & 0 \leq x<L ;\end{array} \quad f(x+2 L)=f(x)\right.
f) f(x)=\left\{\begin{array}{cc}0, & -2 \leq x \leq 0, \\\ \frac{x,}{0,} & -1<x<1, \\\\ 0, & 1 \leq x<2,\end{array} \quad f(x+4)=f(x)\right..
i) Esboce o gráfico função dada por três períodos.
(ii) Encontre a série de Fourier da função dada.
Passo 1
No item (b) temos a função periódica de período 2L\) dada por
\[f(x)= \begin{cases} 1, & -L \le x < 0,\\\\ 0, & 0 \le x < L, \end{cases} \qquad f(x+2L)=f(x).
Vamos primeiro traçar três períodos e depois usar a fórmula da série de Fourier em ([-L,L]]: f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\bigr),
onde a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx, \quad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx,
e a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx.
Passo 2
Para esboçar três períodos, note que em cada intervalo de comprimento L a função vale 1 em [-L,0) e 0 em [0,L). Assim o gráfico é um pulso retangular de altura 1, largura L, repetido de modo que entre cada pulso haja um trecho de comprimento L onde a função é zero. Desenhando de -3L a 3L teremos três pulsos idênticos.
No item (f) temos a função periódica de período 4\) (ou \(T=4\), logo \(L=2\)) definida por
\[f(x)= \begin{cases} 0, & -2\le x\le 0,\\\ x, & -1<x<1,\\\\ 0, & 1\le x<2, \end{cases} \qquad f(x+4)=f(x).
Precisamos mostrar três períodos e depois determinar a série de Fourier em ([-2,2]]: f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos\frac{n\pi x}{2}+b_n\sin\frac{n\pi x}{2}\bigr).
Passo 8
No gráfico, entre -2 e 0 a função vale 0, sobe linearmente de valor -1 a 1 em -1<x<1 (ali valendo f(x)=x) e depois vale 0 em 1\le x<2. Repetindo esse padrão de comprimento 4, traçamos três desses blocos adjacentes.
Passo 9
Note que f é função ímpar em [-2,2] (porque f(-x)=-f(x) salvo nos pontos onde vale zero). Logo a_0=0 e todos a_n=0. Só aparecem termos de seno: