{ }^{a} Questão.(2,5 pts) Considere a integral indefinida
\int\left(x+x^{3}\right) \ln \left(1+x^{2}\right) d x .
(a) Proponha uma substituição t=g(x) que coloque a integral na forma \frac{1}{2} \int t \ln t d t.
(b) Calcule a integral indefinida usando o item (a).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int\bigl(x + x^{3}\bigr)\,\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx
usando uma substituição que transforme essa integral na forma
\frac12\int t\,\ln t\,dt
e depois avaliar essa integral. O conteúdo envolvido é “substituição em integrais” e “integração por partes”.

Passo 2

Note que x + x^{3} = x\,(1+x^{2}). Se fizermos
t = 1 + x^{2},
então
dt = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{dt}{2}.
Substituindo em
\int\bigl(x + x^{3}\bigr)\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx =\int x\,(1+x^{2})\,\ln t\;\,dx
ficamos com
\int t\,\ln t\;\cdot\frac{dt}{2} =\frac12\int t\,\ln t\,dt.

Passo 3

Agora calculamos
\int t\,\ln t\,dt
por partes. Tome
u = \ln t,\quad dv = t\,dt \quad\Longrightarrow\quad du = \frac{dt}{t},\quad v = \frac{t^{2}}{2}.
Pela fórmula \displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du, temos
\int t\,\ln t\,dt = \frac{t^{2}}{2}\,\ln t \;-\;\int \frac{t^{2}}{2}\cdot\frac{dt}{t} = \frac{t^{2}}{2}\,\ln t \;-\;\frac12\int t\,dt.
E
\int t\,dt = \frac{t^{2}}{2},
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\int t\,\ln t\,dt = \frac{t^{2}}{2}\,\ln t \;-\;\frac12\cdot\frac{t^{2}}{2} = \frac{t^{2}}{2}\,\ln t \;-\;\frac{t^{2}}{4}+C.
Multiplicando por \tfrac12, a integral original vira
\frac12\int t\,\ln t\,dt = \frac12\Bigl(\frac{t^{2}}{2}\ln t - \frac{t^{2}}{4}\Bigr) = \frac{t^{2}}{4}\ln t \;-\;\frac{t^{2}}{8}+C.

Passo 4

Basta voltar a t=1+x^{2}:
\int\bigl(x+x^{3}\bigr)\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx = \frac{(1+x^{2})^{2}}{4}\,\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) -\frac{(1+x^{2})^{2}}{8}+C.

Resposta

\boxed{\int\bigl(x+x^{3}\bigr)\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx = \frac{(1+x^{2})^{2}}{4}\,\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) -\frac{(1+x^{2})^{2}}{8}+C.}
(a) A substituição é t=1+x^{2}.
(b) O resultado está acima.

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