Exercício 18: Calcule as derivadas.
(b) f(x)=\left(x^{3}+x^{2}\right)^{10}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\left(x^{3}+x^{2}\right)^{10}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é composta: há uma expressão interna \;x^{3}+x^{2}\; elevada à potência 10.
  • O objetivo explícito é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Qual técnica usar (explicação didática e passo a passo): como temos uma função elevada a uma potência (uma função composta do tipo \big(u(x)\big)^n), o método direto e eficiente é usar a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia e a regra da potência com calma.
Regra da potência (caso simples): se g(x)=\big(x\big)^n com n constante, então
g'(x)=n\big(x\big)^{n-1}.
Aqui a variável que é elevada à potência é exatamente x.
Regra da cadeia (para o caso composto): se tivermos h(x)=\big(u(x)\big)^n, onde u(x) é uma função qualquer de x e n é constante, então aplicamos a regra da potência sobre u como se fosse a “variável” e multiplicamos pela derivada de u(x). Ou seja,
h'(x)=n\big(u(x)\big)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Nessa fórmula:
  • u(x) é a função interna (a que está dentro da potência),
  • n é o expoente,
  • u'(x) é a derivada da função interna em relação a x.
Vou aplicar exatamente isso com u(x)=x^{3}+x^{2} e n=10.

Passo 3

Calcular a derivada da função interna u(x). Primeiro definimos
u(x)=x^{3}+x^{2}.
Usamos propriedades básicas de derivação (linearidade e regra da potência para monômios):
  • A derivada de \;x^{3}\; é \;3x^{2}\; porque, pela regra da potência, \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • A derivada de \;x^{2}\; é \;2x\; pelo mesmo motivo.
Como a derivada de uma soma é a soma das derivadas (linearidade), temos
u'(x)=3x^{2}+2x.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia: com h(x)=\big(u(x)\big)^{10} temos
h'(x)=10\big(u(x)\big)^{9}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=x^{3}+x^{2} e u'(x)=3x^{2}+2x, obtemos a expressão para a derivada de f:
f'(x)=10\big(x^{3}+x^{2}\big)^{9}\cdot\big(3x^{2}+2x\big).

Passo 5

Simplificação algébrica opcional (fazer a expressão mais “factored” para facilitar interpretação na prova):
  • Podemos fatorar um x da derivada interna \;3x^{2}+2x\;:
3x^{2}+2x = x(3x+2).
  • Também podemos notar que x^{3}+x^{2}=x^{2}(x+1). Se quisermos, elevando à nona potência,
\big(x^{3}+x^{2}\big)^{9}=x^{18}(x+1)^{9}.
Multiplicando tudo, uma forma bem fatorada é
f'(x)=10\;x\;\big(x^{3}+x^{2}\big)^{9}\;(3x+2),
ou, usando a fatoração completa,
f'(x)=10\;x^{19}\;(x+1)^{9}\;(3x+2).
Ambas as últimas expressões são equivalentes à expressão obtida no Passo 4 — escolha a forma que você achar mais prática na prova.

Resposta

f'(x)=10\big(x^{3}+x^{2}\big)^{9}\big(3x^{2}+2x\big)

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