Exercício 18: Calcule as derivadas.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes fornecidas:
- A função é composta: há uma expressão interna
elevada à potência . - O objetivo explícito é encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Qual técnica usar (explicação didática e passo a passo): como temos uma função elevada a uma potência (uma função composta do tipo
), o método direto e eficiente é usar a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia e a regra da potência com calma.
Regra da potência (caso simples): se
com
constante, então
Aqui a variável que é elevada à potência é exatamente
.
Regra da cadeia (para o caso composto): se tivermos
, onde
é uma função qualquer de
e
é constante, então aplicamos a regra da potência sobre
como se fosse a “variável” e multiplicamos pela derivada de
. Ou seja,
Nessa fórmula:
-
é a função interna (a que está dentro da potência), -
é o expoente, -
é a derivada da função interna em relação a .
Vou aplicar exatamente isso com
e
.
Passo 3
Calcular a derivada da função interna
. Primeiro definimos
Usamos propriedades básicas de derivação (linearidade e regra da potência para monômios):
- A derivada de
é porque, pela regra da potência, . - A derivada de
é pelo mesmo motivo.
Como a derivada de uma soma é a soma das derivadas (linearidade), temos
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia: com
temos
Substituindo
e
, obtemos a expressão para a derivada de
:
Passo 5
Simplificação algébrica opcional (fazer a expressão mais “factored” para facilitar interpretação na prova):
- Podemos fatorar um
da derivada interna
- Também podemos notar que
. Se quisermos, elevando à nona potência,
Multiplicando tudo, uma forma bem fatorada é
ou, usando a fatoração completa,
Ambas as últimas expressões são equivalentes à expressão obtida no Passo 4 — escolha a forma que você achar mais prática na prova.