Exercício 18 - Iterações de Newton
Para cada equação, aplique o Método de Newton com o x_{0} indicado e execute iterações até \left|f\left(x_{k}\right)\right|<10^{-8}. Organize em tabela com colunas k, x_{k}, f\left(x_{k}\right), f^{\prime}\left(x_{k}\right),\left|x_{k}-x_{k-1}\right|.
f(x)=x^{3}-x-2, \quad x_{0}=2

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Aplicar o Método de Newton (iterações de Newton) para a equação f(x)=x^{3}-x-2.
  • Ponto inicial indicado: x_{0}=2.
  • Critério de parada: executar iterações até \left|f\left(x_{k}\right)\right|<10^{-8}.
  • Organizar os resultados numa tabela com colunas k,\;x_{k},\;f\left(x_{k}\right),\;f^{\prime}\left(x_{k}\right),\;\left|x_{k}-x_{k-1}\right|.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=x^{3}-x-2.
  • O chute inicial é x_{0}=2.
  • Tolerância sobre o valor da função: \left|f\left(x_{k}\right)\right|<10^{-8}.

Passo 2

Lembrando a fórmula do Método de Newton (a “receita”) e o porquê dela.
  • O Método de Newton gera uma sequência \{x_k\} definida por:
x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}.
Explicação didática: a cada passo aproximamos f por sua reta tangente em x_k e tomamos o zero dessa reta como novo ponto x_{k+1}. É uma forma de usar informação da inclinação (derivada) para melhorar o chute.
  • Aqui f(x)=x^{3}-x-2. Calculamos a derivada:
f'(x)=3x^{2}-1.
Explicação das variáveis: em cada iteração usamos x_k conhecido para calcular f(x_k) e f'(x_k); a fração \dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)} é o ajuste que subtraímos para obter x_{k+1}.
Observação importante para a prova: sempre verifique que f'(x_k)\neq 0 antes de aplicar a fórmula (a divisão precisa fazer sentido). Aqui, para os valores que surgem, f'(x_k) será positivo e distante de zero.

Passo 3

Iteração k=0 → cálculo de x_{1}.
  • Dados iniciais: x_{0}=2.
  • Calcular f(x_{0}) e f'(x_{0}):
f(2)=2^{3}-2-2=8-2-2=4, \qquad f'(2)=3\cdot 2^{2}-1=12-1=11.
  • Aplicando Newton:
x_{1}=2-\frac{4}{11}=\frac{22-4}{11}=\frac{18}{11}\approx 1{,}6363636363636364.
  • Diferença em módulo:
\left|x_{1}-x_{0}\right|=\left|\frac{18}{11}-2\right|=\frac{4}{11}\approx 0{,}3636363636363636.
(Para k=0 a coluna \left|x_{k}-x_{k-1}\right| fica sem valor anterior — usa-se um traço ou “—”.)

Passo 4

Iteração k=1 → cálculo de x_{2} (detalhes e explicação numérica).
  • Valores já conhecidos: x_{1}=\dfrac{18}{11}.
  • Calcular f(x_{1}) (aqui vale escrever a forma exata e também aproximar):
f\!\left(\frac{18}{11}\right)=\left(\frac{18}{11}\right)^3-\frac{18}{11}-2 =\frac{5832}{1331}-\frac{2178}{1331}-\frac{2662}{1331}=\frac{992}{1331}.
Como número decimal:
f(x_{1})=\frac{992}{1331}\approx 0{,}745386... .
  • Derivada em x_{1}:
f'\!\left(\frac{18}{11}\right)=3\left(\frac{18}{11}\right)^2-1=\frac{851}{121}\approx 7{,}033057851239669.
  • Aplicando Newton:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})} =\frac{18}{11}-\frac{\tfrac{992}{1331}}{\tfrac{851}{121}} =\frac{18}{11}-\frac{992\cdot 121}{1331\cdot 851}.
Numérico:
x_{2}\approx 1{,}5303920521636364.
  • Diferença:
\left|x_{2}-x_{1}\right|\approx 0{,}10597158419999997\\ (\text{aprox. }0{,}1059715842).
Comentário prático: quando possível é ótimo manter frações exatas nas contas iniciais (como vimos em x_1 e em f(x_1)); depois passamos para decimais para computar passos seguintes.

Passo 5

Iteração k=2 → cálculo de x_{3} (com números e interpretação).
  • Avaliar f e f' em x_{2}\approx 1{,}5303920521636364:
f(x_{2})\approx 0{,}0539389242213636, \qquad f'(x_{2})=3x_{2}^{2}-1\approx 6{,}026299499977182.
  • Aplicar Newton:
x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})} \approx 1{,}5303920521636364- \frac{0{,}0539389242213636}{6{,}026299499977182} \approx 1{,}5214437891226364.
  • Diferença:
\left|x_{3}-x_{2}\right|\approx 0{,}0089482630410000.
Interpretação: o método já reduziu o erro bastante (nota-se que |x_3-x_2| é bem menor que |x_2-x_1|); Newton costuma convergir muito rápido quando próximo da raiz.

Passo 6

Iteração k=3 → cálculo de x_{4}.
  • Avaliar f e f' em x_{3}\approx 1{,}5214437891226364:
f(x_{3})\approx 0{,}000381739437363574, \qquad f'(x_{3})\approx 5{,}944373608975956.
  • Aplicar Newton:
x_{4}=x_{3}-\frac{f(x_{3})}{f'(x_{3})} \approx 1{,}5214437891226364 - \frac{0{,}000381739437363574}{5{,}944373608975956} \approx 1{,}521379547180\;(\text{aprox. }1{,}5213795471806364).
  • Diferença:
\left|x_{4}-x_{3}\right|\approx 0{,}000064241941.
Observação: f(x_{4}) já será pequeno, mas ainda acima de 10^{-8} (ordem de 10^{-6}), então precisamos continuar.

Passo 7

Iteração k=4 → cálculo de x_{5} e verificação do critério de parada.
  • Avaliar f e f' em x_{4}\approx 1{,}5213795471806364:
    (Aproximações)
f(x_{4})\approx -9{,}49\times 10^{-7}\quad(\text{ordem }10^{-6}), \qquad f'(x_{4})\approx 5{,}9437\\ (\text{aprox. }5{,}943\ldots).
  • Aplicar Newton:
x_{5}=x_{4}-\frac{f(x_{4})}{f'(x_{4})}
Como f(x_{4}) é negativo e pequeno, \dfrac{f(x_{4})}{f'(x_{4})} é da ordem de 10^{-7}, então
x_{5}\approx 1{,}5213797068045676
(este valor coincide com a raiz real conhecida de x^{3}-x-2=0 até muitas casas).
  • Avaliar f(x_{5}):
f(x_{5})\approx -1{,}8\times 10^{-13}\quad(\text{aproximadamente})
Logo
\left|f(x_{5})\right|<10^{-8},
portanto o critério de parada foi satisfeito em k=5.
Comentário motivador: nota como a convergência é quadrática perto da raiz — do passo k=3 para k=5 o resíduo caiu rapidamente de 10^{-4} para 10^{-13}.

Resposta

k x_{k} f\left(x_{k}\right) f'\left(x_{k}\right) (\left x_{k}-x_{k-1}\right )
0 2 4 11
1 \dfrac{18}{11}\\ \approx\\\ 1{,}6363636363636364 \dfrac{992}{1331}\\ \approx\\\ 0{,}745386\ldots \dfrac{851}{121}\\ \approx\\\ 7{,}033057851239669 0{,}3636363636363636
2 1{,}5303920521636364 0{,}0539389242213636 6{,}026299499977182 0{,}1059715842000000
3 1{,}5214437891226364 0{,}000381739437363574 5{,}944373608975956 0{,}0089482630410000
4 1{,}5213795471806364 -9{,}49\times 10^{-7}\\ \text{(aprox.)} \approx 5{,}9437 0{,}000064241941
5 1{,}5213797068045676 -1{,}8\times 10^{-13}\\ \text{(aprox.)} \approx 5{,}9437 1{,}59\times 10^{-7}
- Critério de parada: em k=5 obteve-se (\left f\left(x_{5}\right)\right <10^{-8}).
  • Raiz aproximada (com precisão obtida): x\approx 1{,}5213797068045676.
Parabéns — você chegou à raiz! Se quiser, eu descrevo passo-a-passo cada multiplicação/divisão numérica com mais casas (para você copiar e refazer à mão na prova) ou monto a mesma tabela com menos ou mais casas decimais. Vai dar certo — já está dominando o procedimento.

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