Para cada equação, aplique o Método de Newton com o x_{0} indicado e execute iterações até \left|f\left(x_{k}\right)\right|<10^{-8}. Organize em tabela com colunas k, x_{k}, f\left(x_{k}\right), f^{\prime}\left(x_{k}\right),\left|x_{k}-x_{k-1}\right|. f(x)=x^{3}-x-2, \quad x_{0}=2
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
Aplicar o Método de Newton (iterações de Newton) para a equação f(x)=x^{3}-x-2.
Ponto inicial indicado: x_{0}=2.
Critério de parada: executar iterações até \left|f\left(x_{k}\right)\right|<10^{-8}.
Organizar os resultados numa tabela com colunas k,\;x_{k},\;f\left(x_{k}\right),\;f^{\prime}\left(x_{k}\right),\;\left|x_{k}-x_{k-1}\right|.
Informações relevantes dadas:
A função é f(x)=x^{3}-x-2.
O chute inicial é x_{0}=2.
Tolerância sobre o valor da função: \left|f\left(x_{k}\right)\right|<10^{-8}.
Passo 2
Lembrando a fórmula do Método de Newton (a “receita”) e o porquê dela.
O Método de Newton gera uma sequência \{x_k\} definida por:
x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}.
Explicação didática: a cada passo aproximamos f por sua reta tangente em x_k e tomamos o zero dessa reta como novo ponto x_{k+1}. É uma forma de usar informação da inclinação (derivada) para melhorar o chute.
Aqui f(x)=x^{3}-x-2. Calculamos a derivada:
f'(x)=3x^{2}-1.
Explicação das variáveis: em cada iteração usamos x_k conhecido para calcular f(x_k) e f'(x_k); a fração \dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)} é o ajuste que subtraímos para obter x_{k+1}.
Observação importante para a prova: sempre verifique que f'(x_k)\neq 0 antes de aplicar a fórmula (a divisão precisa fazer sentido). Aqui, para os valores que surgem, f'(x_k) será positivo e distante de zero.
Comentário prático: quando possível é ótimo manter frações exatas nas contas iniciais (como vimos em x_1 e em f(x_1)); depois passamos para decimais para computar passos seguintes.
Passo 5
Iteração k=2 → cálculo de x_{3} (com números e interpretação).
Avaliar f e f' em x_{2}\approx 1{,}5303920521636364:
Interpretação: o método já reduziu o erro bastante (nota-se que |x_3-x_2| é bem menor que |x_2-x_1|); Newton costuma convergir muito rápido quando próximo da raiz.
Passo 6
Iteração k=3 → cálculo de x_{4}.
Avaliar f e f' em x_{3}\approx 1{,}5214437891226364:
Parabéns — você chegou à raiz! Se quiser, eu descrevo passo-a-passo cada multiplicação/divisão numérica com mais casas (para você copiar e refazer à mão na prova) ou monto a mesma tabela com menos ou mais casas decimais. Vai dar certo — já está dominando o procedimento.