Exercício 18 - Iterações de Newton
Para cada equação, aplique o Método de Newton com o
indicado e execute iterações até
. Organize em tabela com colunas
.
Passo 1
O enunciado pede que apliquemos o Método de Newton à função
com ponto inicial dado e que repetimos iterações até
. Dados fornecidos:
- Função:
. - Ponto inicial:
. - Critério de parada:
.
O que devo apresentar (organizado em tabela): as colunas, para cada iteração até o critério ser satisfeito.
Passo 2
Vou explicar o Método de Newton passo a passo (a mini-aula que você pediu, explicada de forma direta):
- Ideia: aproximar a função por sua reta tangente em
e usar o zero dessa reta como nova aproximação . - Fórmula do passo de Newton:
Aqui
é a derivada de
avaliada em
. Cada iteração costuma convergir muito rápido (quadraticamente) quando
está razoavelmente perto da raiz.
- Para aplicar isso precisamos de
e explicitamente para a função dada.
Passo 3
Calcular
para a função dada e explicar cada termo:
- Temos
. - Derivando: a derivada de
é e a derivada de é .
Logo
Explicando as variáveis:
- Em
, é o ponto onde avaliamos a função. - Em
, e vêm da diferenciação termo a termo.
Passo 4
Primeira iteração (avaliar em
):
- Calcular
:
Usando valores numéricos conhecidos (com várias casas decimais mantidas para precisão):
portanto
- Calcular
:
logo
- Aplicar a fórmula de Newton:
Calculei a divisão com cuidado e obtive
Então
- Diferença absoluta:
Observação didática: aqui usei expansão linear implícita e cálculo direto de
com precisão suficiente; na prova, se você tiver calculadora, faça exatamente essas operações (avaliar
,
, dividir e subtrair).
Passo 5
Segunda iteração (avaliar em
). Agora precisamos de
e
. Para manter clareza, vou mostrar como aproximar
de forma controlada (usei séries de Taylor truncadas para calcular
,
,
em torno de
e refiná-los; na prova faça direto na calculadora):
- Primeiro calculei (aproximações com manutenção de dígitos relevantes):
-
.
-
- Calcular
usando expansão em torno de :
- Calcular
a partir de e correções:
- Portanto
- Agora
. Avaliando (com as aproximações consistentes para obtidas via expansão):
logo
- Aplicar Newton para obter
:
A divisão dá aproximadamente
, portanto
- Diferença absoluta:
Passo 6
Avaliar
e checar o critério de parada:
- Usando expansão em torno de
(ou avaliando diretamente se tiver calculadora), podemos aproximar
Substituindo os valores:
- O valor de
em módulo é , que é bem menor que o limiar . Portanto o critério está satisfeito já em . - Observação: a magnitude tão pequena do resíduo confirma a convergência quadrática típica do Método de Newton — a cada iteração, o erro cai muito rapidamente quando estamos perto da raiz.
Resposta
k = 0,
,
,
,
k = 1,
,
,
,
k = 2,
,
,
,