Exercício 18 - Iterações de Newton
Para cada equação, aplique o Método de Newton com o
indicado e execute iterações até
. Organize em tabela com colunas
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- A equação é
. - O palpite inicial (ponto de partida) é
. - Devemos aplicar o Método de Newton iterativamente até que
. - Precisamos organizar os resultados em uma tabela com colunas
.
Observação: a tabela começará em
com
. Para
a coluna
não se aplica (coloco um traço).
Passo 2
Explicando o Método de Newton (a ideia e a fórmula) — aula rápida e prática.
- Objetivo do método: encontrar uma raiz de
aproximando por retas tangentes sucessivas; cada iteração costuma convergir muito rápido (convergência quadrática) quando a aproximação está razoavelmente próxima da raiz. - Fórmula de iteração (fórmula de Newton):
Aqui:
-
é a aproximação atual da raiz; -
é o valor da função no ponto ; -
é a derivada da função no ponto ; -
é a próxima aproximação obtida pela interseção da tangente com o eixo . -
Para esta função:
Explicando: a derivada de
é
; a derivada de
é
.
- Critério de parada: computamos iterativamente
até obter . (Note que alguns usam como critério, mas o enunciado exige a condição em .)
Passo 3
Primeira iteração:
. Calcule
,
e
.
- Dados iniciais:
. - Calcule
:
Usando
, obtemos
- Calcule
:
- Agora aplique a fórmula de Newton:
- Diferença:
(Expliquei como obti os valores de
. Para
em
próximos, eu uso expansão exponencial centrada num ponto conhecido ou uma tabela/ calculadora. Aqui mantive bastante casas decimais para controlar o erro.)
Passo 4
Segunda iteração:
. Calcule
,
e
.
- Com
, avaliamos . Uma forma prática de calcular manualmente é escrever e expandir em série curta porque é pequeno; no entanto aqui apresento apenas o valor numérico necessário:
- Então
- Derivada:
- Nova iteração:
- Diferença:
Comentário didático rápido: repara que
já caiu de
para cerca de
— Newton está reduzindo rapidamente o resíduo.
Passo 5
Terceira iteração:
. Calcule
,
e
.
- Para
temos
logo
- Derivada:
- Atualização:
- Diferença:
Didática: agora
está na ordem de
a
, já bem pequeno; como Newton tem convergência quadrática perto da raiz, os resíduos vão cair muito mais rápido nas iterações seguintes.
Passo 6
Quarta iteração:
. Calcule
,
e
. Verificamos o critério de parada.
- Para
obtém-se
portanto
- Derivada:
- Atualização:
- Diferença:
- Agora avaliar
. Pelo comportamento quadrático de Newton podemos estimar:
e, de fato, calculando numericamente obtemos
o que satisfaz o critério
.
Portanto a iteração pode ser interrompida em
.
Passo 7
Tabela com as iterações pedidas. (Colunas:
.)
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(\left | x_{k}-x_{k-1}\right | ) |
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Notas sobre a tabela:
- Todos os valores numéricos foram arredondados para mostrar casas significativas suficientes para a prova.
- A coluna
para é indicada por um traço porque não existe . - A condição pedida
é satisfeita em , já que .