Exercício 18. Mostre que a faixa de Möbius é uma superfície que não é orientável.
Passo 1
Estamos trabalhando com superfícies e a noção de orientabilidade. Uma superfície é orientável se existir um atlas cujos mapas de transição tenham sempre jacobiano de determinante positivo. Para mostrar que a faixa de M"{o}bius não é orientável, vamos:
. Definir a faixa de M"{o}bius como quociente de um retângulo.
. Construir duas cartas que cobrem toda a superfície.
. Exibir o mapa de transição em uma sobreposição cujos jacobiano tiver determinante negativo.
Passo 2
Definimos a faixa de M"{o}bius
onde a relação de equivalência é
Esse quociente é uma superfície de dimensão
.
Passo 3
Vamos cobrir
com duas cartas:
Carta
:
é a imagem das faixas com coordenada
estritamente interna,
e definimos
Carta
:
é um vizinhança da “costura” em
, isto é, a imagem de
sob a projeção, para algum
.
Definimos
Definimos
Passo 4
Analisamos o mapa de transição
em
. Note que
Na parte
, tem-se
cujo jacobiano é
Porém, na parte
identificada com
via
,
que em coordenadas
é
e seu jacobiano é
Passo 5
Como encontramos uma sobreposição de cartas onde o mapa de transição tem determinante negativo, não existe atlas inteiro com todas as transições de jacobiano positivo. Isso mostra que
não é orientável.
Resposta
A faixa de M"{o}bius não é orientável.