Exercício 18. Mostre que a faixa de Möbius é uma superfície que não é orientável.

Passo 1

Estamos trabalhando com superfícies e a noção de orientabilidade. Uma superfície é orientável se existir um atlas cujos mapas de transição tenham sempre jacobiano de determinante positivo. Para mostrar que a faixa de M"{o}bius não é orientável, vamos:
1. Definir a faixa de M"{o}bius como quociente de um retângulo.
2. Construir duas cartas que cobrem toda a superfície.
3. Exibir o mapa de transição em uma sobreposição cujos jacobiano tiver determinante negativo.

Passo 2

Definimos a faixa de M"{o}bius
M ;=;l([0,1]times[-1,1]r)/!sim
onde a relação de equivalência é
;(0,s)sim(1,-s)para todo sin[-1,1]
Esse quociente é uma superfície de dimensão 2.

Passo 3

Vamos cobrir M com duas cartas:
Carta (U1,phi1):
U1 é a imagem das faixas com coordenada t estritamente interna,
U1 = lclasse de (t,s)mid tin(0,1),,sin(-1,1)r,
e definimos
phi1l([t,s]r) = (t,s)in(0,1)times(-1,1)
Carta (U2,phi2):
U2 é um vizinhança da “costura” em t=0sim1, isto é, a imagem de
(-varepsilon,varepsilon)times(-1,1) ;sqcup; (1-varepsilon,1+varepsilon)times(-1,1)
sob a projeção, para algum 0<varepsilon<tfrac12.
Definimos
phi2l([t,s]r)= (t,s),&tin(0,varepsilon), (t-1,,-s),&tin(1-varepsilon,1)

Passo 4

Analisamos o mapa de transição
psi = phi2circphi1^-1
em V = phi1(U1cap U2). Note que
U1cap U2 =l[t,s]mid tin(0,varepsilon)r;cup;l[t,s]mid tin(1-varepsilon,1)r
Na parte tin(0,varepsilon), tem-se psi(t,s)=(t,s) cujo jacobiano é
Dpsi = 1&00&1,det Dpsi=+1
Porém, na parte tin(1-varepsilon,1) identificada com (-varepsilon,0) via t'=t-1,
psi(t,s) = (t-1,,-s)
que em coordenadas (t',s) é
psi(t',s) = (t',-s),
e seu jacobiano é
Dpsi = 1&00&-1, det Dpsi = -1

Passo 5

Como encontramos uma sobreposição de cartas onde o mapa de transição tem determinante negativo, não existe atlas inteiro com todas as transições de jacobiano positivo. Isso mostra que M não é orientável.

Resposta

A faixa de M"{o}bius não é orientável.

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