Mostre que a curva f(x)=tg(e^2^x) não possui tangente horizontal em nenhum ponto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a curva f(x)=tanl(e^2^xr) não tem tangente horizontal em nenhum ponto, ou seja, que a derivada f'(x) nunca se anula (onde f está definida). Vamos usar o teorema da derivada de composição (regra da cadeia) e analisar o sinal de f'(x).

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de f. A função tan(u) só está definida se
u neq pi2 + kpi,
com kinZ. Aqui u=e^2^x, logo f não existe quando
e^2^x = pi2 + kpi
Fora desses pontos isolados (que geram assíntotas verticais), f é diferenciável.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia em duas etapas:
  1. Derivada de tan(u) é sec^2(u)cdot u'.
  2. Aqui u(x)=e^2^x. Então u'(x) = ddxl(e^2^xr) = e^2^x,ddx(2^x) = e^2^xcdot 2^xln 2
Combinando, obtemos
f'(x) = sec^2l(e^2^xr);cdot;e^2^x;2^xln 2

Passo 4

Agora analisamos cada fator em f'(x):
  • sec^2l(e^2^xr) é sempre positivo onde definido (não zero),
  • e^2^x>0 para todo x,
  • 2^x>0 para todo x,
  • ln 2>0.
    Logo o produto
f'(x) = sec^2l(e^2^xr);e^2^x;2^xln 2
é sempre estritamente positivo em todo ponto do domínio de f. Não há x tal que f'(x)=0.

Resposta

A derivada f'(x) nunca se anula (é sempre positiva onde f existe), portanto a curva não possui tangente horizontal em nenhum ponto.

Exercícios relacionados