Mostre que a curva
não possui tangente horizontal em nenhum ponto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a curva
não tem tangente horizontal em nenhum ponto, ou seja, que a derivada
nunca se anula (onde
está definida). Vamos usar o teorema da derivada de composição (regra da cadeia) e analisar o sinal de
.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio de
. A função
só está definida se
com
. Aqui
, logo
não existe quando
Fora desses pontos isolados (que geram assíntotas verticais),
é diferenciável.
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia em duas etapas:
- Derivada de
é . - Aqui
. Então
Combinando, obtemos
Passo 4
Agora analisamos cada fator em
:
-
é sempre positivo onde definido (não zero), -
para todo , -
para todo , -
.
Logo o produto
é sempre estritamente positivo em todo ponto do domínio de
. Não há
tal que
.
Resposta
A derivada
nunca se anula (é sempre positiva onde
existe), portanto a curva não possui tangente horizontal em nenhum ponto.