Se F(x)=f(e^x^2) e G(x)=e^(f(x))^2. Determine F^prime(x) e G^prime(x) em função de f(x) e f^prime(x).

Passo 1

O enunciado define duas funções compostas e pede suas derivadas. O conteúdo principal é a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma composição h(x)=g(u(x)) é
h'(x)=g'l(u(x)r),u'(x)
Vamos aplicar essa ideia primeiro em F(x)=fl(e^x^2r) e depois em G(x)=e^(f(x))^2.

Passo 2

Para F(x)=fl(e^x^2r) identificamos:
u(x)=e^x^2, F(x)=fl(u(x)r)
Pela regra da cadeia,
F'(x)=f'l(u(x)r),u'(x)
Agora calculamos
u'(x)=ddxe^x^2 =e^x^2cdotddx(x^2) =e^x^2cdot 2x
Logo,
F'(x)=f'l(e^x^2r),l(2x,e^x^2r)

Passo 3

Para G(x)=e^(f(x))^2 fazemos:
v(x)=(f(x))^2, G(x)=e^v(x)
Pela regra da cadeia aplicada ao exponencial,
G'(x)=e^v(x),v'(x)
E para v(x)=(f(x))^2 temos
v'(x)=2,f(x),f'(x)
Assim
G'(x)=e^(f(x))^2cdotl(2,f(x),f'(x)r)

Resposta

F'(x)=2x,e^x^2,f'l(e^x^2r), G'(x)=2,f(x),f'(x),e^(f(x))^2

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