Exercício 19 A equação diferencial da corrente elétrica I que percorre um circuito eletrônico composto por um resistor R, um capacitor C e um indutor L, ligados em série, é:
L d^2 Id t^2+R d Id t+1C I=d Vd t
onde V(t) é uma diferença de potencial aplicada ao circuito, que varia com o tempo t.
(a) Esta é a equação de um oscilador harmônico, amortecido, forçado…?
(b) Identifique a constante omega0 (frequência angular natural).
(c) Identifique a constante b.
(d) Identifique a constante gamma.
(e) O que se pode dizer sobre a corrente elétrica?
(f) Que componente eletrônico tem papel de “inércia”?
(g) Que componente eletrônico tem papel de “força restauradora”?
(h) Que componente eletrônico tem papel de “força dissipativa”?
(i) Que elemento da equação acima tem papel de “força externa”?
(j) Considere que L=0,3 times 10^-6 [a unidade é o “Henry” (H), mas não se preocupe com isso aqui]. Qual deve ser o valor de C para que esse circuito oscile na mesma frequência da Radio Rock, em 89,1 MHz ?
(k) Suponha agora que V=0 (não há “força externa”) e que em t=0 a corrente tem um valor I0 qualquer. O que você deve fazer no circuito para obter uma corrente que oscile harmonicamente, sem nunca cessar?

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de um circuito série L–R–C,
L d^2Idt^2 + R dIdt + 1C,I = dVdt,
onde V(t) é a força externa. Vamos comparar com a forma mecânica
m,ddot x + b,dot x + k,x = F(t)
para identificar tipo de oscilador e as constantes omega0, b e gamma, bem como responder às questões conceituais e calcular C no item (j).

Passo 2

Comparando diretamente com m,ddot x + b,dot x + k,x = F(t) temos:
  • m rightarrow L (inércia),
  • b rightarrow R (amortecimento),
  • k rightarrow 1/C (rigidez/restauração),
  • F(t) rightarrow dV/dt (força externa).
    Portanto, trata-se de um oscilador harmônico, amortecido (devido a R) e forçado (devido a V(t)).

Passo 3

A frequência angular natural omega0 vem de
omega0 = raizkm = raiz1/CL = 1raizL,C

Passo 4

A constante de amortecimento b é o coeficiente da primeira derivada na forma mecânica:
b = R

Passo 5

O parâmetro de taxa de decaimento (razão de amortecimento) gamma é
gamma = b2,m = R2,L

Passo 6

Da analogia mecânica podemos dizer sobre a corrente I(t):
  • Em ausência de V(t) ( F=0), a solução é oscilatória com amplitude decrescente exponencial (\emph{transiente amortecido}).
  • Com V(t) aplicado, surge uma solução forçada de regime permanente mais um decaimento do transiente.

Passo 7

Os papéis dos componentes eletrônicos são:
  • Inércia: o indutor L (analogamente à massa m).
  • Força restauradora: o capacitor C (analogamente à mola com constante k=1/C).
  • Força dissipativa: o resistor R.
  • Força externa: o termo dVdt na equação.

Passo 8

Para sintonizar o circuito em f=89,1;MHz usamos
omega0 = 2pi f Longrightarrow 1raizL,C = 2pi , (89,1times10^6)
Isolando C:
C = 1L,(2pi f)^2 = 10,3times10^-6,l(2picdot89,1times10^6r)^2 approx 1,06times10^-11,F

Passo 9

Para que, com V=0 e condição inicial I(0)=I0, a corrente oscile sem nunca cessar, basta eliminar o amortecimento, isto é, fazer R=0. Fica assim um circuito ideal LC sem perdas.

Resposta

(a) É um oscilador harmônico, amortecido e forçado.
(b) omega0 = 1raizL,C.
(c) b = R.
(d) gamma = R2,L.
(e) A corrente sofre um transiente amortecido e, sob forçamento, tende a um regime permanente oscilatório.
(f) Inércia: indutor L.
(g) Força restauradora: capacitor C.
(h) Força dissipativa: resistor R.
(i) Força externa: o termo dVdt.
(j) C approx 1,06times10^-11,F para f=89,1,MHz.
(k) Retirar o resistor ( R=0) para obter oscilações livres não amortecidas.

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