Exercício 19 A equação diferencial da corrente elétrica
que percorre um circuito eletrônico composto por um resistor
, um capacitor
e um indutor
, ligados em série, é:
onde
é uma diferença de potencial aplicada ao circuito, que varia com o tempo
.
(a) Esta é a equação de um oscilador harmônico, amortecido, forçado…?
(b) Identifique a constante
(frequência angular natural).
(c) Identifique a constante
.
(d) Identifique a constante
.
(e) O que se pode dizer sobre a corrente elétrica?
(f) Que componente eletrônico tem papel de “inércia”?
(g) Que componente eletrônico tem papel de “força restauradora”?
(h) Que componente eletrônico tem papel de “força dissipativa”?
(i) Que elemento da equação acima tem papel de “força externa”?
(j) Considere que
[a unidade é o “Henry” (H), mas não se preocupe com isso aqui]. Qual deve ser o valor de
para que esse circuito oscile na mesma frequência da Radio Rock, em
?
(k) Suponha agora que
(não há “força externa”) e que em
a corrente tem um valor
qualquer. O que você deve fazer no circuito para obter uma corrente que oscile harmonicamente, sem nunca cessar?
(a) Esta é a equação de um oscilador harmônico, amortecido, forçado…?
(b) Identifique a constante
(c) Identifique a constante
(d) Identifique a constante
(e) O que se pode dizer sobre a corrente elétrica?
(f) Que componente eletrônico tem papel de “inércia”?
(g) Que componente eletrônico tem papel de “força restauradora”?
(h) Que componente eletrônico tem papel de “força dissipativa”?
(i) Que elemento da equação acima tem papel de “força externa”?
(j) Considere que
(k) Suponha agora que
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de um circuito série L–R–C,
onde
é a força externa. Vamos comparar com a forma mecânica
para identificar tipo de oscilador e as constantes
,
e
, bem como responder às questões conceituais e calcular
no item (j).
Passo 2
Comparando diretamente com
temos:
-
(inércia), -
(amortecimento), -
(rigidez/restauração), -
(força externa).
Portanto, trata-se de um oscilador harmônico, amortecido (devido a) e forçado (devido a ).
Passo 3
A frequência angular natural
vem de
Passo 4
A constante de amortecimento
é o coeficiente da primeira derivada na forma mecânica:
Passo 5
O parâmetro de taxa de decaimento (razão de amortecimento)
é
Passo 6
Da analogia mecânica podemos dizer sobre a corrente
:
- Em ausência de
( ), a solução é oscilatória com amplitude decrescente exponencial (\emph{transiente amortecido}). - Com
aplicado, surge uma solução forçada de regime permanente mais um decaimento do transiente.
Passo 7
Os papéis dos componentes eletrônicos são:
- Inércia: o indutor
(analogamente à massa ). - Força restauradora: o capacitor
(analogamente à mola com constante ). - Força dissipativa: o resistor
. - Força externa: o termo
na equação.
Passo 8
Para sintonizar o circuito em
usamos
Isolando
:
Passo 9
Para que, com
e condição inicial
, a corrente oscile sem nunca cessar, basta eliminar o amortecimento, isto é, fazer
. Fica assim um circuito ideal LC sem perdas.
Resposta
(a) É um oscilador harmônico, amortecido e forçado.
(b) .
(c) .
(d) .
(e) A corrente sofre um transiente amortecido e, sob forçamento, tende a um regime permanente oscilatório.
(f) Inércia: indutor .
(g) Força restauradora: capacitor .
(h) Força dissipativa: resistor .
(i) Força externa: o termo .
(j) para
.
(k) Retirar o resistor ( ) para obter oscilações livres não amortecidas.
(b)
(c)
(d)
(e) A corrente sofre um transiente amortecido e, sob forçamento, tende a um regime permanente oscilatório.
(f) Inércia: indutor
(g) Força restauradora: capacitor
(h) Força dissipativa: resistor
(i) Força externa: o termo
(j)
(k) Retirar o resistor (