Questão 9) Uma onda estacionária em uma corda fixa em suas duas extremidades tem como equação y(x,t)=(0,024)sen(52,3x)cos(480t), onde x e y são dados em metros e t em segundos. Encontre: (a) A amplitude das ondas que combinadas geraram a configuração estacionária, (b) A velocidade destas ondas na corda, (c) A distância entre dois nós adjacentes na configuração estacionária ao longo da corda e (d) A velocidade máxima atingida pela partícula que compõe a corda em x=30 cm.

Passo 1

O enunciado nos dá uma onda estacionária numa corda fixa nas duas extremidades com equação
y(x,t)=0,024sin(52,3,x)cos(480,t),
onde x e y estão em metros e t em segundos.
O conteúdo aqui envolve ondas estacionárias obtidas pela superposição de duas ondas viajantes de mesma frequência e número de onda, velocidade de propagação em função de omega e k, nós e ventres e velocidade máxima de partícula obtida por partial y/partial t.

Passo 2

Para achar a amplitude das ondas viajantes que geram a estacionária, lembramos que superpondo duas ondas
y1 = Asin(kx-omega t), y2 = Asin(kx+omega t)
obtém-se
y=y1+y2=2Asin(kx)cos(omega t)
Na nossa equação o fator à frente de sin(kx)cos(omega t) é 0,024, ou seja 2A=0,024. Logo
A=0,0242=0,012;m

Passo 3

A velocidade de cada onda viajante na corda é dada por
v=omegak
Aqui omega=480 rad/s e k=52,3 rad/m, então
v=48052,3approx9,18;m/s

Passo 4

A distância entre dois nós adjacentes é metade do comprimento de onda, ou seja
De<a x = lambda2,
e lambda satisfaz k=2pi/lambda. Assim
lambda=2pi52,3approx0,120;m, De<a x=lambda2approx0,060;m

Passo 5

A velocidade vertical instantânea de um ponto da corda é
vy=partial ypartial t =-0,024sin(kx),omegasin(omega t)
O valor máximo em módulo ocorre quando sin(omega t)=pm1, ficando
|vy|max(x)=0,024,omega,|sin(kx)|
Em x=0,30 m temos k x=52,3cdot0,30approx15,69 rad e
sin(15,69)approx0,0174. Logo
|vy|max(0,30)=0,024cdot480cdot0,0174approx0,20;m/s

Resposta

(a) 0,012;m
(b) 9,18;m/s
(c) 0,060;m
(d) 0,20;m/s

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