Exercício 19. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função
Passo 1
O enunciado pede para determinar os intervalos em que a função
é crescente e em que é decrescente. As informações dadas são apenas a expressão algébrica de
. Não há outras condições ou imagens. O objetivo é achar os intervalos de
onde
sobe (crescente) e onde
desce (decrescente).
Passo 2
Conceito e estratégia (explicação didática e prática para a prova).
- Definição prática: uma função
é crescente num intervalo se, ao aumentar , aumenta; é decrescente se, ao aumentar , diminui. - Teste com derivada: se
é diferenciável, a regra usada na prova é: - Se
para todo em um intervalo, então é crescente nesse intervalo. - Se
para todo em um intervalo, então é decrescente nesse intervalo.
- Se
- Plano de ação: calcular
, resolver para obter pontos críticos que dividem a reta em intervalos, analisar o sinal de em cada intervalo e concluir crescimento/decrescimento.
Essa é a técnica mais direta e rápida para prova: derivada → zeros da derivada → tabela de sinais → conclusão.
Passo 3
Calcular a derivada
passo a passo.
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto,
Passo 4
Fatorar
para facilitar o estudo de sinais.
Aqui cada fator tem papel:
é sempre positivo,
e
mudam de sinal em
e
, respectivamente.
Passo 5
Determinar os pontos onde
e dividir a reta em intervalos.
Resolver
:
Os pontos críticos são
e
. Isso divide
em três intervalos:
,
e
.
Agora analisar o sinal de
em cada intervalo usando os sinais dos fatores:
- Para
: e . Produto (negativo vezes negativo dá positivo). Multiplicando por temos em . - Para
: e . Produto . Logo em . - Para
: e . Produto positivo, então em .
Pela regra da derivada: onde
a função é crescente; onde
é decrescente.
Passo 6
Classificar os pontos críticos (opcional, mas útil para interpretação).
Calcular a segunda derivada:
Avaliar em
e
:
Para referência, os valores da função nesses pontos são
Passo 7
Dica rápida de prova e encorajamento: em prova, faça exatamente esta sequência em poucas linhas:
- Calcule
. - Fatore e ache zeros.
- Faça a tabela de sinais (ou teste um número em cada intervalo).
- Conclua crescente/decrescente.
Se estiver na dúvida, usenos pontos críticos para saber se é máximo ou mínimo. Boa — você consegue!
Resposta
Função crescente em
.
Função decrescente em .
Função decrescente em