Exercício 19. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função
f(x)=x^{3}-3 x+2 .

Passo 1

O enunciado pede para determinar os intervalos em que a função
f(x)=x^{3}-3x+2
é crescente e em que é decrescente. As informações dadas são apenas a expressão algébrica de f. Não há outras condições ou imagens. O objetivo é achar os intervalos de \mathbb{R} onde f sobe (crescente) e onde f desce (decrescente).

Passo 2

Conceito e estratégia (explicação didática e prática para a prova).
  • Definição prática: uma função f é crescente num intervalo se, ao aumentar x, f(x) aumenta; é decrescente se, ao aumentar x, f(x) diminui.
  • Teste com derivada: se f é diferenciável, a regra usada na prova é:
    • Se f'(x)>0 para todo x em um intervalo, então f é crescente nesse intervalo.
    • Se f'(x)<0 para todo x em um intervalo, então f é decrescente nesse intervalo.
  • Plano de ação: calcular f'(x), resolver f'(x)=0 para obter pontos críticos que dividem a reta em intervalos, analisar o sinal de f'(x) em cada intervalo e concluir crescimento/decrescimento.
Essa é a técnica mais direta e rápida para prova: derivada → zeros da derivada → tabela de sinais → conclusão.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) passo a passo.
  • Derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • Derivada de -3x é -3.
  • Derivada de +2 é 0.
Portanto,
f'(x)=3x^{2}-3.

Passo 4

Fatorar f'(x) para facilitar o estudo de sinais.
f'(x)=3x^{2}-3=3(x^{2}-1)=3(x-1)(x+1).
Aqui cada fator tem papel: 3 é sempre positivo, (x-1) e (x+1) mudam de sinal em x=1 e x=-1, respectivamente.

Passo 5

Determinar os pontos onde f'(x)=0 e dividir a reta em intervalos.
Resolver f'(x)=0:
3(x-1)(x+1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=1 \quad\text{ou}\quad x=-1.
Os pontos críticos são x=-1 e x=1. Isso divide \mathbb{R} em três intervalos: (-\infty,-1), (-1,1) e (1,\infty).
Agora analisar o sinal de f'(x) em cada intervalo usando os sinais dos fatores:
  • Para x<-1: x-1<0 e x+1<0. Produto (x-1)(x+1)>0 (negativo vezes negativo dá positivo). Multiplicando por 3>0 temos f'(x)>0 em (-\infty,-1).
  • Para -1<x<1: x-1<0 e x+1>0. Produto (x-1)(x+1)<0. Logo f'(x)<0 em (-1,1).
  • Para x>1: x-1>0 e x+1>0. Produto positivo, então f'(x)>0 em (1,\infty).
Pela regra da derivada: onde f'(x)>0 a função é crescente; onde f'(x)<0 é decrescente.

Passo 6

Classificar os pontos críticos (opcional, mas útil para interpretação).
Calcular a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\big(3x^{2}-3\big)=6x.
Avaliar em x=-1 e x=1:
f''(-1)=6(-1)=-6<0 \quad\Rightarrow\quad \text{máximo local em }x=-1;á
f''(1)=6(1)=6>0 \quad\Rightarrow\quad \text{mínimo local em }x=1.í
Para referência, os valores da função nesses pontos são
f(-1)=(-1)^{3}-3(-1)+2=-1+3+2=4,
f(1)=1^{3}-3\cdot1+2=1-3+2=0.

Passo 7

Dica rápida de prova e encorajamento: em prova, faça exatamente esta sequência em poucas linhas:
  1. Calcule f'(x).
  2. Fatore e ache zeros.
  3. Faça a tabela de sinais (ou teste um número em cada intervalo).
  4. Conclua crescente/decrescente.
    Se estiver na dúvida, use f'' nos pontos críticos para saber se é máximo ou mínimo. Boa — você consegue!

Resposta

Função crescente em (-\infty,-1)\cup(1,\infty).
Função decrescente em (-1,1).

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