Exercício 18. Resolva, no conjunto dos reais, a desigualdade |2 x-3|+|3 x-2| \leq 12. Dê o conjunto-solução na forma de intervalos.

Passo 1

O enunciado pede para resolver no conjunto dos reais a desigualdade |2x-3| + |3x-2| \le 12. O conteúdo envolve propriedades de valor absoluto e a estratégia será particionar o domínio segundo os sinais das expressões internas aos valores absolutos, transformando a desigualdade em inequações lineares em cada região.

Passo 2

Definimos os pontos críticos onde as expressões mudam de sinal:
2x-3=0 \implies x=\tfrac32,
3x-2=0 \implies x=\tfrac23.
Assim temos três intervalos: (-\infty,\tfrac23), [\tfrac23,\tfrac32) e [\tfrac32,+\infty).

Passo 3

Para x<\tfrac23 temos 2x-3<0 e 3x-2<0. Logo
|2x-3| + |3x-2| = -(2x-3) - (3x-2) = -2x+3 -3x+2 = -5x+5.
A desigualdade -5x+5 \le 12 resulta em
-5x \le 7 \implies x \ge -\tfrac75.
A interseção com x<\tfrac23
-\tfrac75 \le x < \tfrac23.

Passo 4

Para \tfrac23 \le x < \tfrac32 temos 2x-3<0 e 3x-2\ge0. Então
|2x-3| + |3x-2| = -(2x-3) + (3x-2) = -2x+3 +3x-2 = x+1.
A desigualdade x+1 \le 12 resulta em
x \le 11.
Como 11>\tfrac32, toda a região satisfaz, ficando
\tfrac23 \le x < \tfrac32.

Passo 5

Para x\ge\tfrac32 temos 2x-3\ge0 e 3x-2\ge0. Logo
|2x-3| + |3x-2| = 2x-3 + 3x-2 = 5x-5.
A desigualdade 5x-5 \le 12 implica em
5x \le 17 \implies x \le \tfrac{17}5.
A interseção com x\ge\tfrac32
\tfrac32 \le x \le \tfrac{17}5.

Passo 6

Unindo os resultados dos três casos, obtemos o conjunto
-\tfrac75 \le x < \tfrac23,\quad \tfrac23 \le x < \tfrac32,\quad \tfrac32 \le x \le \tfrac{17}5,
que cobre de forma contínua o intervalo [-\tfrac75,\tfrac{17}5].

Resposta

[-\,\tfrac75,\tfrac{17}5]

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