Uma partícula de massa m se move em uma reta, ao longo do eixo x segundo a função a(t)=c t, com c uma constante positiva dada em [cm / s^3]. a) Escreva as equações de movimento restantes x(t) e v(t), em função de c e t, se v(0)=0 e x(0)=x0. Agora suponha que c=6 cm / s^3 e x0=64 cm, e: b) Calcule a velocidade média de t=0 até t=1 s em cm / s. c) Calcule a velocidade quando t=1 s em cm / s. d) Usando as equações de movimento determinadas acima, calcule a velocidade e a aceleração, no instante em que a partícula percorreu 1 / 8 da distância percorrida no primeiro segundo de movimento. (valor: 10ptos).

Passo 1

O enunciado trata de um movimento unidimensional com aceleração variável dada por
a(t)=c,t
onde c é constante positiva em cm/s^3. Precisamos integrar essa aceleração para obter a velocidade v(t) e, em seguida, integrar v(t) para obter a posição x(t), usando as condições iniciais v(0)=0 e x(0)=x0. Depois, com c=6 cm/s^3 e x0=64 cm, calculamos:
– (b) velocidade média de t=0 a t=1 s,
– (c) velocidade em t=1 s,
– (d) velocidade e aceleração no instante em que a partícula percorreu 1/8 do espaço total do primeiro segundo.

Passo 2

Integramos a(t)=c,t para achar v(t). Como v(0)=0, temos
v(t)=integral0^tc,tau,dtau=c2,t^2
Agora integramos v(t) para achar x(t). Usando x(0)=x0,
x(t)=x0+integral0^tc2,tau^2dtau =x0+c6,t^3

Passo 3

Para c=6 cm/s^3 e x0=64 cm, o deslocamento no primeiro segundo é
De<a x=x(1)-x0=66,1^3=1 cm
A velocidade média de t=0 até t=1 é
barv=x(1)-x01-0=1 cm/s

Passo 4

A velocidade em t=1 s é
v(1)=c2,1^2=62=3 cm/s

Passo 5

Queremos o instante t^* em que a partícula teve deslocamento igual a 1/8 de De<a x=1 cm, ou seja, x(t^*)-x0=1/8. Como x(t)-x0=(c/6)t^3 e aqui c/6=1, basta resolver
t^3=18 Longrightarrow t^*=12 s

Passo 6

No instante t^*=1/2 s temos
vl(t^*r)=c2l(t^*r)^2 =3cdotl(12r)^2=34 cm/s,
al(t^*r)=c,t^* =6cdot12=3 cm/s^2

Resposta

a) v(t)=c2,t^2, x(t)=x0+c6,t^3
b) bar v=1 cm/s
c) v(1)=3 cm/s
d) No instante em que percorreu 1/8 da distância, t=1/2 s,
,v=0,75 cm/s,;a=3 cm/s^2

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