Exercício 3.18 São dadas funçōes relacionadas com funções exponenciais e logarítmicas. Calcule a derivada de:
f(x)=2^{x} x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=2^{x}x^{2}.
O conteúdo que vamos usar é a regra do produto e a derivada da função exponencial de base 2, cuja fórmula é
\frac{d}{dx}\bigl(2^{x}\bigr)=2^{x}\ln(2).

Passo 2

Vamos identificar as duas funções que formam o produto:
u(x)=2^{x}, \quad v(x)=x^{2}.
Pela regra do produto, temos
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2^{x}\bigr)=2^{x}\ln(2), \quad v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.

Passo 4

Substituindo em f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x), obtemos
f'(x)=\bigl(2^{x}\ln(2)\bigr)\,x^{2}+2^{x}\,(2x).

Passo 5

Por fim, podemos fatorar 2^{x}x para simplificar a expressão:
f'(x) =2^{x}x\bigl(x\ln(2)+2\bigr).

Resposta

f'(x)=2^{x}x\bigl(x\ln(2)+2\bigr).

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