Exercício 3.18 São dadas funçōes relacionadas com funções exponenciais e logarítmicas. Calcule a derivada de:
f(x)=\ln ^{\cos (x)}(x), x>1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = \bigl(\ln(x)\bigr)^{\cos(x)},\quad x>1,
que envolve exponenciação e logaritmo. Para derivar funções na forma g(x)^{h(x)}, usamos log-diferenciação.

Passo 2

Definimos y = f(x) e aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
\ln(y) = \ln\bigl((\ln(x))^{\cos(x)}\bigr).
Como \ln(a^b)=b\ln(a), segue
\ln(y) = \cos(x)\,\ln\bigl(\ln(x)\bigr).

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, \frac{d}{dx}\ln(y)=\frac{y'}{y}. No direito, usamos regra do produto em \cos(x)\,\ln(\ln(x)):
\frac{d}{dx}\bigl[\cos(x)\ln(\ln(x))\bigr] = -\sin(x)\,\ln(\ln(x)) + \cos(x)\,\frac{d}{dx}\bigl[\ln(\ln(x))\bigr].
E
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(\ln(x))\bigr] = \frac{1}{\ln(x)}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x\,\ln(x)}.

Passo 4

Reunindo, obtemos
\frac{y'}{y} = -\sin(x)\,\ln(\ln(x)) + \cos(x)\,\frac{1}{x\,\ln(x)}.
Multiplicando ambos os lados por y,
y' = y\Bigl[-\sin(x)\,\ln(\ln(x)) + \frac{\cos(x)}{x\,\ln(x)}\Bigr].

Passo 5

Voltando a y=f(x)=(\ln(x))^{\cos(x)}, a derivada final é
f'(x) = (\ln(x))^{\cos(x)}\!\Bigl[-\sin(x)\,\ln(\ln(x)) + \tfrac{\cos(x)}{x\,\ln(x)}\Bigr].

Resposta

f'(x) = (\ln(x))^{\cos(x)}\!\Bigl[-\sin(x)\,\ln(\ln(x)) + \tfrac{\cos(x)}{x\,\ln(x)}\Bigr].

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