Exercício 3.18 São dadas funçōes relacionadas com funções exponenciais e logarítmicas. Calcule a derivada de:
f(x)=5^{\operatorname{sen}(x)}

Passo 1

Beleza, a função que temos é
f(x)=5^{\operatorname{sen}(x)}.
O conteúdo aqui é a derivada de uma exponencial de base fixa combinada com a regra da cadeia, e também vamos usar a derivada de \operatorname{sen}(x).

Passo 2

Lembrando a fórmula geral: se
h(x)=a^{u(x)},\quad a>0\text{ constante,}
então
h'(x)=a^{u(x)}\ln(a)\,u'(x).

Passo 3

No nosso caso u(x)=\operatorname{sen}(x), logo
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr)=\cos(x).
Aplicando a fórmula do passo anterior,
f'(x)=5^{\operatorname{sen}(x)}\ln(5)\,\cos(x).

Resposta

f'(x)=5^{\operatorname{sen}(x)}\ln(5)\cos(x).

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