Exercício 3.18 São dadas funçōes relacionadas com funções exponenciais e logarítmicas. Calcule a derivada de:
f(x)=\ln (\ln (x)), x>1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\bigl(\ln(x)\bigr),\quad x>1.
O conteúdo envolvido é derivada de função composta (regra da cadeia) e derivada de logaritmo natural.

Passo 2

Derivada da função externa: se definirmos
h(u)=\ln(u),
então
h'(u)=\frac{1}{u}.

Passo 3

Derivada da função interna: aqui
u(x)=\ln(x),
logo
u'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia,
f'(x)=h'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =\frac{1}{\ln(x)}\cdot\frac{1}{x} =\frac{1}{x\,\ln(x)}.
Como x>1, temos \ln(x)>0 e a expressão está bem definida.

Resposta

f'(x)=\dfrac{1}{x\,\ln(x)}

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