Exercício 3.18 São dadas funçōes relacionadas com funções exponenciais e logarítmicas. Calcule a derivada de:
f(x)=(2 x)^{3 x}, x>0

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = (2x)^{3x},\quad x>0.
O conteúdo principal é diferenciar uma função com base e expoente variáveis, então vamos usar diferenciação logarítmica.

Passo 2

Definimos
y = (2x)^{3x}
e aplicamos logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a potência variável:
\ln y = \ln\bigl((2x)^{3x}\bigr).

Passo 3

Usando a propriedade \ln(a^b)=b\ln a, obtemos
\ln y = 3x\ln(2x).

Passo 4

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo,
\frac{\md}{\md x}(\ln y)=\frac{y'}{y}.
No lado direito, aplicamos a regra do produto em 3x\ln(2x):
\frac{y'}{y} =3\ln(2x) + 3x\cdot\frac{1}{x} =3\ln(2x)+3.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por y para isolar y' e substituindo y=(2x)^{3x}, temos
y' = (2x)^{3x}\,\bigl(3\ln(2x)+3\bigr).
Fatorando 3, chega-se a
y' = 3\,(2x)^{3x}\,\bigl(\ln(2x)+1\bigr).

Resposta

f'(x) = 3\,(2x)^{3x}\,\bigl(\ln(2x)+1\bigr).

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