1. Seja f(x)=(x-1)^10, x^*=1, e xn=1+1 / n. Mostre que |f(xn)|<10^-3 sempre que n >= 2, mas que, para que se tenha |x^*-xn|<10^-3, é necessário n>1000.
  2. Seja (xn)n=1^infty definida por
xn=sumk=1^n 1k

Passo 1

O enunciado define a função f(x)=(x-1)^10, o ponto exato x^*=1 e a sequência de aproximações
xn = 1 + 1n
Pede-se mostrar duas coisas:
  1. Que l|f(xn)r|<10^-3 sempre que n>=2.
  2. Que para ter l|x^*-xnr|<10^-3 é preciso n>1000.
    O conteúdo usado envolve estimativas de erro em sequência e limites.

Passo 2

Calculamos
f(xn) = l(xn-1r)^10 = l(tfrac1nr)^10,
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l|f(xn)r| = l(tfrac1nr)^10
Para n>=2 temos
l(tfrac1nr)^10 <= l(tfrac12r)^10 = 11024 < 11000 = 10^-3
Assim l|f(xn)r|<10^-3 para todo n>=2.

Passo 3

Agora calculamos o erro na própria sequência:
l|x^*-xnr| = l|1 - l(1+tfrac1nr)r| = 1n
Queremos
1n < 10^-3 Longrightarrow n > 10^3 = 1000
Portanto para garantir l|x^*-xnr|<10^-3 é necessário n>1000.

Passo 4

O texto da questão 5 define apenas
xn = sumk=1^n1k
sem especificar o que devemos demonstrar ou calcular. Por isso não é possível resolver essa parte sem informação adicional.

Resposta

Para a questão 4, mostramos que l|f(xn)r|<10^-3 sempre que n>=2 e que l|x^*-xnr|<10^-3 exige n>1000.
Para a questão 5, o enunciado está incompleto e não há o que calcular ou demonstrar.

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