Questão 3: Considere uma população de ratos de uma determinda área que aumenta (na ausência de predadores) a uma taxa proporcional à população atual. Este fator de proporcionalidade r é chamado de taxa de crescimento e tem o valor de 2 por mês. Vamos denotar por t o tempo em meses e a população de ratos p(t). Inicialmente há 900 ratos na área e predadores matam 30 ratos por dia. Apresente o problema de valor inicial (P.V.I.) que modela a situação descrita acima.

Passo 1

O enunciado descreve uma população de ratos p(t) em função do tempo t (em meses), que cresce segundo um modelo de crescimento exponencial à taxa r=2 por mês, e sofre mortalidade constante de predadores, que matam 30 ratos por dia. Precisamos formular o problema de valor inicial (P.V.I.) sob a forma de uma equação diferencial que reúna crescimento proporcional e remoção constante, junto com a condição inicial p(0)=900.

Passo 2

O crescimento exponencial “na ausência de predadores” é modelado por
dpdt=r,p(t)
onde r=2 por mês.

Passo 3

A mortalidade por predadores é uma remoção constante de 30 ratos por dia. Como t está em meses, convertemos para ratos por mês:
30;ratosdiatimes 30;diasmês =900;ratosmês êê

Passo 4

Somando crescimento e remoção, a equação diferencial fica
dpdt=2,p(t)-900

Passo 5

A condição inicial dada é
p(0)=900

Resposta

O problema de valor inicial que modela a situação é
dpdt=2,p(t)-900,[6pt] p(0)=900 ]

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