Questão 3: Considere uma população de ratos de uma determinda área que aumenta (na ausência de predadores) a uma taxa proporcional à população atual. Este fator de proporcionalidade
é chamado de taxa de crescimento e tem o valor de 2 por mês. Vamos denotar por
o tempo em meses e a população de ratos
. Inicialmente há 900 ratos na área e predadores matam 30 ratos por dia. Apresente o problema de valor inicial (P.V.I.) que modela a situação descrita acima.
Passo 1
O enunciado descreve uma população de ratos
em função do tempo
(em meses), que cresce segundo um modelo de crescimento exponencial à taxa
por mês, e sofre mortalidade constante de predadores, que matam
ratos por dia. Precisamos formular o problema de valor inicial (P.V.I.) sob a forma de uma equação diferencial que reúna crescimento proporcional e remoção constante, junto com a condição inicial
.
Passo 2
O crescimento exponencial “na ausência de predadores” é modelado por
onde
por mês.
Passo 3
A mortalidade por predadores é uma remoção constante de
ratos por dia. Como
está em meses, convertemos para ratos por mês:
Passo 4
Somando crescimento e remoção, a equação diferencial fica
Passo 5
A condição inicial dada é
Resposta
O problema de valor inicial que modela a situação é