Exercício 189. Calcule os seguintes limites. Lembre que
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, ou ainda, \lim _{u \rightarrow 0}(1+u)^{\frac{1}{u}}=e.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(x^{2}+1\right)}{x^{2}+1-\cos x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(x^{2}+1\right)}{x^{2}+1-\cos x}.
Informações e dados relevantes fornecidos:
  • A expressão a ser avaliada é a razão entre \ln\left(x^{2}+1\right) e x^{2}+1-\cos x.
  • O limite é quando x tende a 0.
  • Lembrar limites padrões úteis: \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1 e \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): para limites do tipo “coisa pequena / coisa pequena” ao redor de 0 é eficiente comparar os termos dominantes (os de menor ordem não nula em potência de x). Vou transformar a expressão dividindo numerador e denominador por x^{2} e usar limites padrão para obter o valor final. Isso evita séries longas e é rigoroso se justificado pelos limites padrão citados.

Passo 3

Calcular o comportamento do numerador dividido por x^{2}. Considere
\frac{\ln(1+x^{2})}{x^{2}}.
Usa-se o limite padrão \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1. Tomando t=x^{2}, que tende a 0 quando x\to 0, obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^{2})}{x^{2}}=1.
Explicação didática: a função \ln(1+t) tem derivada 1 em t=0, logo para t pequeno \ln(1+t)\approx t; por isso a razão tende a 1.

Passo 4

Calcular o comportamento do denominador dividido por x^{2}. Escrevemos
\frac{x^{2}+1-\cos x}{x^{2}}=1+\frac{1-\cos x}{x^{2}}.
Logo basta avaliar \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}. Uma forma padrão e rigorosa de ver esse limite é usar a identidade trigonométrica 1-\cos x=2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right). Assim
\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x^{2}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}\right)^{2}.
Como \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1, com u=\frac{x}{2} vem
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}+1-\cos x}{x^{2}}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.

Passo 5

Combinar os resultados. A expressão original pode ser escrita como
\frac{\ln(1+x^{2})}{x^{2}+1-\cos x} = \frac{\dfrac{\ln(1+x^{2})}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}+1-\cos x}{x^{2}}}.
Tomando limite quando x\to 0 e usando os limites encontrados nos passos anteriores:
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^{2})}{x^{2}+1-\cos x} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^{2})}{x^{2}}}{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}+1-\cos x}{x^{2}}} = \frac{1}{\tfrac{3}{2}}=\frac{2}{3}.
Aqui usei que os limites do numerador e do denominador existem e o limite da razão é a razão dos limites (denominador não nulo no limite).

Resposta

\dfrac{2}{3}

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