Exercício 189. Calcule os seguintes limites. Lembre que
, ou ainda,
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações e dados relevantes fornecidos:
- A expressão a ser avaliada é a razão entre
e . - O limite é quando
tende a . - Lembrar limites padrões úteis:
e .
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): para limites do tipo “coisa pequena / coisa pequena” ao redor de
é eficiente comparar os termos dominantes (os de menor ordem não nula em potência de
). Vou transformar a expressão dividindo numerador e denominador por
e usar limites padrão para obter o valor final. Isso evita séries longas e é rigoroso se justificado pelos limites padrão citados.
Passo 3
Calcular o comportamento do numerador dividido por
. Considere
Usa-se o limite padrão
. Tomando
, que tende a
quando
, obtemos
Explicação didática: a função
tem derivada
em
, logo para
pequeno
; por isso a razão tende a
.
Passo 4
Calcular o comportamento do denominador dividido por
. Escrevemos
Logo basta avaliar
. Uma forma padrão e rigorosa de ver esse limite é usar a identidade trigonométrica
. Assim
Como
, com
vem
Portanto
Passo 5
Combinar os resultados. A expressão original pode ser escrita como
Tomando limite quando
e usando os limites encontrados nos passos anteriores:
Aqui usei que os limites do numerador e do denominador existem e o limite da razão é a razão dos limites (denominador não nulo no limite).