Exercício 189. Calcule os seguintes limites. Lembre que
, ou ainda,
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do seguinte limite:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão envolve funções logarítmicas naturais
. - A variável
tende para . - Todos os números e operações do enunciado estão explícitos: os termos lineares
e e a constante somada ao logaritmo no denominador.
Passo 2
Identificar o tipo de indeterminação. Para isso observamos o comportamento das partes:
-
quando . -
quando , logo .
Portanto a forma é do tipo, uma indeterminação. Precisamos manipular a expressão para eliminar essa indeterminação.
Passo 3
Usar uma identidade útil para logaritmos: para
vale
porque
.
Aplicando isso ao numerador:
Aplicando isso ao numerador:
Passo 4
Aplicar a mesma identidade ao termo logarítmico do denominador:
Portanto o denominador fica
Passo 5
Dividir numerador e denominador por
(que tende a
quando
), para trabalhar com termos adimensionais:
Passo 6
Calcular os limites dos termos pequenos quando
:
-
(constante finita). - Como
, qualquer constante finita dividida por tende a . Logo
- De modo análogo,
e portanto
pois
é constante finita e divide-se por
.
Passo 7
Aplicar os limites obtidos na expressão da Passo 5:
Portanto o limite existe e vale
.