Exercício 189. Calcule os seguintes limites. Lembre que
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, ou ainda, \lim _{u \rightarrow 0}(1+u)^{\frac{1}{u}}=e.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (2 x+3)}{\ln (5 x+7)+3}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do seguinte limite:
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(2x+3)}{\ln(5x+7)+3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão envolve funções logarítmicas naturais \ln(\cdot).
  • A variável x tende para +\infty.
  • Todos os números e operações do enunciado estão explícitos: os termos lineares 2x+3 e 5x+7 e a constante 3 somada ao logaritmo no denominador.

Passo 2

Identificar o tipo de indeterminação. Para isso observamos o comportamento das partes:
  • \ln(2x+3)\to+\infty quando x\to+\infty.
  • \ln(5x+7)\to+\infty quando x\to+\infty, logo \ln(5x+7)+3\to+\infty.
    Portanto a forma é do tipo \dfrac{+\infty}{+\infty}, uma indeterminação. Precisamos manipular a expressão para eliminar essa indeterminação.

Passo 3

Usar uma identidade útil para logaritmos: para x>0 vale
\ln(a x+b)=\ln x + \ln\!\left(a+\frac{b}{x}\right),
porque \ln(a x+b)=\ln\bigl(x( a + b/x)\bigr)=\ln x+\ln(a+b/x).
Aplicando isso ao numerador:
\ln(2x+3)=\ln x + \ln\!\left(2+\frac{3}{x}\right).

Passo 4

Aplicar a mesma identidade ao termo logarítmico do denominador:
\ln(5x+7)=\ln x + \ln\!\left(5+\frac{7}{x}\right).
Portanto o denominador fica
\ln(5x+7)+3=\ln x + \ln\!\left(5+\frac{7}{x}\right)+3.

Passo 5

Dividir numerador e denominador por \ln x (que tende a +\infty quando x\to+\infty), para trabalhar com termos adimensionais:
\frac{\ln(2x+3)}{\ln(5x+7)+3} = \frac{\displaystyle \ln x + \ln\!\left(2+\frac{3}{x}\right)} {\displaystyle \ln x + \ln\!\left(5+\frac{7}{x}\right)+3} = \frac{1 + \dfrac{\ln\!\left(2+\frac{3}{x}\right)}{\ln x}} {1 + \dfrac{\ln\!\left(5+\frac{7}{x}\right)+3}{\ln x}}.

Passo 6

Calcular os limites dos termos pequenos quando x\to+\infty:
  • \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln\!\left(2+\frac{3}{x}\right)=\ln 2 (constante finita).
  • Como \ln x\to+\infty, qualquer constante finita dividida por \ln x tende a 0. Logo
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\!\left(2+\frac{3}{x}\right)}{\ln x}=0.
  • De modo análogo, \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln\!\left(5+\frac{7}{x}\right)=\ln 5 e portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\!\left(5+\frac{7}{x}\right)+3}{\ln x}=0,
pois \ln 5+3 é constante finita e divide-se por \ln x\to+\infty.

Passo 7

Aplicar os limites obtidos na expressão da Passo 5:
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(2x+3)}{\ln(5x+7)+3} = \frac{1+0}{1+0}=1.
Portanto o limite existe e vale 1.

Resposta

1

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