Exercício 189. Calcule os seguintes limites. Lembre que
, ou ainda,
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão interior está bem definida para valores grandes de
porque é uma razão de polinômios. - A função
tem domínio e é contínua nesse intervalo (especialmente em ). - Foi lembrado que
, informação que está disponível mas não precisa ser usada aqui diretamente.
Passo 2
Vamos simplificar a fração dentro do
. Começo por fatorar os termos:
Agora cancelei um fator
e escrevi de forma conveniente dividindo numerador e denominador por
:
Passo 3
Calculo o limite da expressão simplificada quando
. Como
e
, tem-se
Portanto a parte interior do
tende para
.
Passo 4
Usamos a propriedade de continuidade: se
é contínua em
e
, então
. A função
é contínua em
e
porque
. Assim
Passo 5
Um comentário prático que ajuda na prova: para
tem
, logo a fração é estritamente menor que
para
. Isso garante que estamos abordando
pela esquerda (valores
), então o limite do
é
por aproximação à direita do ângulo (ou seja,
), confirmando a resposta e a coerência da continuidade usada.