Exercício 189. Calcule os seguintes limites. Lembre que
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, ou ainda, \lim _{u \rightarrow 0}(1+u)^{\frac{1}{u}}=e.
\lim _{x \rightarrow \infty} \operatorname{arccos} \left(\frac{x^{3}+x}{x^{3}+x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\operatorname{arccos}\!\left(\frac{x^{3}+x}{x^{3}+x^{2}}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão interior está bem definida para valores grandes de x porque é uma razão de polinômios.
  • A função \operatorname{arccos} tem domínio [-1,1] e é contínua nesse intervalo (especialmente em 1).
  • Foi lembrado que \lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}=e, informação que está disponível mas não precisa ser usada aqui diretamente.

Passo 2

Vamos simplificar a fração dentro do \operatorname{arccos}. Começo por fatorar os termos:
\frac{x^{3}+x}{x^{3}+x^{2}}=\frac{x\,(x^{2}+1)}{x^{2}\,(x+1)}.
Agora cancelei um fator x e escrevi de forma conveniente dividindo numerador e denominador por x^{2}:
\frac{x^{3}+x}{x^{3}+x^{2}}=\frac{x^{2}+1}{x^{2}+x}=\frac{1+\dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{1}{x}}.

Passo 3

Calculo o limite da expressão simplificada quando x\to\infty. Como \dfrac{1}{x}\to 0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to 0, tem-se
\lim_{x\to\infty}\frac{1+\dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{1}{x}}=\frac{1+0}{1+0}=1.
Portanto a parte interior do \operatorname{arccos} tende para 1.

Passo 4

Usamos a propriedade de continuidade: se g é contínua em L e \lim_{x\to a} f(x)=L, então \lim_{x\to a} g(f(x))=g(L). A função \operatorname{arccos} é contínua em 1 e \operatorname{arccos}(1)=0 porque \cos(0)=1. Assim
\lim_{x\to\infty}\operatorname{arccos}\!\left(\frac{x^{3}+x}{x^{3}+x^{2}}\right)=\operatorname{arccos}\!\left(\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}+x}{x^{3}+x^{2}}\right)=\operatorname{arccos}(1)=0.

Passo 5

Um comentário prático que ajuda na prova: para x>1 tem \,x^{2}+1<x^{2}+x, logo a fração é estritamente menor que 1 para x>1. Isso garante que estamos abordando 1 pela esquerda (valores <1), então o limite do \operatorname{arccos} é 0 por aproximação à direita do ângulo (ou seja, 0^{+}), confirmando a resposta e a coerência da continuidade usada.

Resposta

0

Exercícios relacionados