Exercício 189. Calcule os seguintes limites. Lembre que
, ou ainda,
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas:
- O limite é quando
. - Foi lembrado que
, equivalently .
Não há figura nem outros dados. O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Primeiro simplificar a base da potência para ver a forma padrão
. Faço uma álgebra simples:
Portanto a expressão do limite fica
Passo 3
Técnica padrão: escrever o limite como exponencial do logaritmo, porque a função exponencial é contínua. Ou seja, se
é o limite procurado, então
desde que o limite do interior exista (pode ser finito ou infinito). Vou, então, calcular
Passo 4
Para avaliar esse limite é conveniente introduzir
. Quando
temos
. Reescrevo o produto usando
:
Agora analiso os dois fatores separadamente:
-
quando . - Para
vale a conhecida consequência do limite dado no enunciado: . Tomando logaritmo, isso é equivalente a
(Alternativamente podia usar a expansão
quando
.)
Multiplicando os limites (fator que tende a
pelo fator que tende a
) obtemos
Passo 5
Voltando à expressão original com a exponencial, como o limite do expoente é
, pela continuidade de
segue que