Exercício 189. Calcule os seguintes limites. Lembre que
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, ou ainda, \lim _{u \rightarrow 0}(1+u)^{\frac{1}{u}}=e.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-3}\right)^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-3}\right)^{x^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • O limite é quando x\to +\infty.
  • Foi lembrado que \displaystyle \lim_{t\to+\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}=e, equivalently \displaystyle \lim_{u\to 0}(1+u)^{1/u}=e.
    Não há figura nem outros dados. O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Primeiro simplificar a base da potência para ver a forma padrão (1+\text{pequeno})^{\text{grande}}. Faço uma álgebra simples:
\frac{x^{2}+1}{x^{2}-3} = \frac{x^{2}-3+4}{x^{2}-3} = 1+\frac{4}{x^{2}-3}.
Portanto a expressão do limite fica
\left(1+\frac{4}{x^{2}-3}\right)^{x^{2}}.

Passo 3

Técnica padrão: escrever o limite como exponencial do logaritmo, porque a função exponencial é contínua. Ou seja, se L é o limite procurado, então
L=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{4}{x^{2}-3}\right)^{x^{2}} = \exp\!\left(\lim_{x\to+\infty} x^{2}\ln\!\left(1+\frac{4}{x^{2}-3}\right)\right),
desde que o limite do interior exista (pode ser finito ou infinito). Vou, então, calcular
\lim_{x\to+\infty} x^{2}\ln\!\left(1+\frac{4}{x^{2}-3}\right).

Passo 4

Para avaliar esse limite é conveniente introduzir y=x^{2}-3. Quando x\to+\infty temos y\to+\infty. Reescrevo o produto usando y:
x^{2}\ln\!\left(1+\frac{4}{x^{2}-3}\right) = \frac{x^{2}}{x^{2}-3}\, \bigl((x^{2}-3)\ln\!\bigl(1+\tfrac{4}{x^{2}-3}\bigr)\bigr) = \frac{x^{2}}{y}\, \bigl(y\ln\!\bigl(1+\tfrac{4}{y}\bigr)\bigr).
Agora analiso os dois fatores separadamente:
  • \displaystyle \frac{x^{2}}{y}=\frac{x^{2}}{x^{2}-3}\longrightarrow 1 quando x\to+\infty.
  • Para y\to+\infty vale a conhecida consequência do limite dado no enunciado: \displaystyle \lim_{y\to+\infty}\left(1+\frac{4}{y}\right)^{y}=e^{4}. Tomando logaritmo, isso é equivalente a
\lim_{y\to+\infty} y\ln\!\left(1+\frac{4}{y}\right)=4.
(Alternativamente podia usar a expansão \ln(1+u)\sim u quando u\to 0.)
Multiplicando os limites (fator que tende a 1 pelo fator que tende a 4) obtemos
\lim_{x\to+\infty} x^{2}\ln\!\left(1+\frac{4}{x^{2}-3}\right) = 1\cdot 4 = 4.

Passo 5

Voltando à expressão original com a exponencial, como o limite do expoente é 4, pela continuidade de \exp segue que
\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-3}\right)^{x^{2}} = \exp(4)=e^{4}.

Resposta

e^{4}

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