Exercício 195. Seja
. O que podemos dizer sobre
?
a)
b)
c)
d) Indeterminado
a)
b)
c)
d) Indeterminado
Passo 1
O enunciado dá que
. A pergunta é: o que podemos dizer sobre
? As alternativas são:
a)
b)
c)
d) Indeterminado
a)
b)
c)
d) Indeterminado
Informações relevantes dadas:
- A notação
significa que, quando se aproxima de , tende a e, além disso, os valores de ficam positivos (próximos de zero) para suficientemente perto de . - Não foi dada informação sobre o valor de
(pode nem estar definida), apenas sobre o comportamento quando se aproxima de .
Passo 2
Explicar formalmente o que significa
.
Por definição: para todo
existe
tal que, se
, então
Ou seja: além de
ficar arbitrariamente pequeno (menor que qualquer
), ele é estritamente positivo para
suficientemente próximo de
. Isso é a peça chave: a positividade perto de
.
Passo 3
Definir o que significa dizer que
.
Por definição de limite para o infinito: dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, se
, então
Queremos mostrar exatamente essa propriedade usando a hipótese
.
Passo 4
Prova direta usando a definição: pegar um
arbitrário e mostrar que existe
com
.
Dado
, escolha
(note que
). Pela hipótese de que
, existe
tal que, se
, então
Tomando recíproco (e lembrando que
nesse vizinho), obtemos
Como isso vale para qualquer
, concluímos que
Passo 5
Comentários intuitivos e contraexemplos para entender por que a positividade é crucial.
- Intuição: se
é um número positivo muito pequeno, seu recíproco é um número positivo muito grande. Logo, ao aproximar-se de os recíprocos explodem para . - Por que não pode ser
ou : a positividade de impede recíprocos negativos (logo não pode dar ); e o recíproco de um número que vai a zero não pode ir a zero (vai a infinito em módulo), então não é . - Se a hipótese fosse apenas
sem indicar sinal, o recíproco poderia ser diferente ou até não existir. Exemplos: -
com : e . (confirma nosso caso) -
com : mas não existe (tende a pela direita e a pela esquerda). -
com : mas oscila muito e não tem limite definido (e nem tende a de forma ordenada).
-
Passo 6
Resumo final e incentivo: com a hipótese de aproximação a
sempre por valores positivos, o recíproco cresce além de qualquer limite. Portanto a opção correta é a)
. Vai dar tudo certo na prova — respira, esse tipo de exercício é clássica aplicação da definição!
Resposta
a)