Exercício 195. Seja \lim _{x \rightarrow a} f(x)=0^{+}. O que podemos dizer sobre \lim _{x \rightarrow a} \frac{1}{f(x)} ?
a) +\infty
b) -\infty
c) 0^{+}
d) Indeterminado

Passo 1

O enunciado dá que \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=0^{+}. A pergunta é: o que podemos dizer sobre \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{1}{f(x)}? As alternativas são:
a) +\infty
b) -\infty
c) 0^{+}
d) Indeterminado
Informações relevantes dadas:
  • A notação \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=0^{+} significa que, quando x se aproxima de a, f(x) tende a 0 e, além disso, os valores de f(x) ficam positivos (próximos de zero) para x suficientemente perto de a.
  • Não foi dada informação sobre o valor de f(a) (pode nem estar definida), apenas sobre o comportamento quando x se aproxima de a.

Passo 2

Explicar formalmente o que significa \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=0^{+}.
Por definição: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-a|<\delta, então
0< f(x) < \varepsilon.
Ou seja: além de f(x) ficar arbitrariamente pequeno (menor que qualquer \varepsilon>0), ele é estritamente positivo para x suficientemente próximo de a. Isso é a peça chave: a positividade perto de a.

Passo 3

Definir o que significa dizer que \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{1}{f(x)}=+\infty.
Por definição de limite para o infinito: dizemos que \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{1}{f(x)}=+\infty se, para todo M>0, existe \delta>0 tal que, se 0<|x-a|<\delta, então
\frac{1}{f(x)} > M.
Queremos mostrar exatamente essa propriedade usando a hipótese \lim_{x\to a} f(x)=0^{+}.

Passo 4

Prova direta usando a definição: pegar um M>0 arbitrário e mostrar que existe \delta com 0<|x-a|<\delta\Rightarrow 1/f(x)>M.
Dado M>0, escolha \varepsilon=\dfrac{1}{M} (note que \varepsilon>0). Pela hipótese de que \lim_{x\to a} f(x)=0^{+}, existe \delta>0 tal que, se 0<|x-a|<\delta, então
0< f(x) < \varepsilon = \frac{1}{M}.
Tomando recíproco (e lembrando que f(x)>0 nesse vizinho), obtemos
\frac{1}{f(x)} > M.
Como isso vale para qualquer M>0, concluímos que
\lim_{x\to a}\frac{1}{f(x)} = +\infty.

Passo 5

Comentários intuitivos e contraexemplos para entender por que a positividade é crucial.
  • Intuição: se f(x) é um número positivo muito pequeno, seu recíproco é um número positivo muito grande. Logo, ao aproximar-se de a os recíprocos explodem para +\infty.
  • Por que não pode ser -\infty ou 0^{+}: a positividade de f(x) impede recíprocos negativos (logo não pode dar -\infty); e o recíproco de um número que vai a zero não pode ir a zero (vai a infinito em módulo), então não é 0^{+}.
  • Se a hipótese fosse apenas \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=0 sem indicar sinal, o recíproco poderia ser diferente ou até não existir. Exemplos:
    • f(x)=|x| com x\to 0: \lim f(x)=0^{+} e \lim 1/f(x)=+\infty. (confirma nosso caso)
    • f(x)=x com x\to 0: \lim f(x)=0 mas \lim 1/f(x) não existe (tende a +\infty pela direita e a -\infty pela esquerda).
    • f(x)=x\sin\!\tfrac{1}{x} com x\to 0: \lim f(x)=0 mas \frac{1}{f(x)} oscila muito e não tem limite definido (e nem tende a \pm\infty de forma ordenada).

Passo 6

Resumo final e incentivo: com a hipótese de aproximação a 0 sempre por valores positivos, o recíproco cresce além de qualquer limite. Portanto a opção correta é a) +\infty. Vai dar tudo certo na prova — respira, esse tipo de exercício é clássica aplicação da definição!

Resposta

a) +\infty

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