Obtenha a derivada segunda

Passo 1

O enunciado pede a derivada segunda da função
y = sin(3x)e^x
O conteúdo envolve derivação de produtos e regra da cadeia. Para simplificar, vamos reescrever
y = e^-x,sin(3x)
e então aplicar a regra do produto duas vezes.

Passo 2

Para obter a primeira derivada, usamos a regra do produto em y = e^-xsin(3x).
A derivada de e^-x é -e^-x e a derivada de sin(3x) é 3cos(3x). Logo,
y' = -e^-xsin(3x) + e^-xcdot 3cos(3x)
Agrupando termos semelhantes,
y' = e^-xl(3cos(3x) - sin(3x)r)

Passo 3

Para a segunda derivada, aplicamos novamente a regra do produto em
;y' = e^-x(3cos(3x) - sin(3x)).
A derivada de e^-x é -e^-x e a derivada de 3cos(3x)-sin(3x) é -9sin(3x)-3cos(3x). Portanto,
y'' = -e^-xl(3cos(3x) - sin(3x)r) + e^-xl(-9sin(3x) - 3cos(3x)r)
Somando os termos dentro dos parênteses,
y'' = e^-xl(-6cos(3x) - 8sin(3x)r)

Resposta

y'' = e^-xl(-6cos(3x) - 8sin(3x)r)

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