Exercício 19: A Associação de Cardiologia de Newport planeja abrir um escritório de consulta telefônica com 8 empregados. Ao planejar a aérea de estacionamento para esse escritório, é preciso saber quantos funcionários dirigirão seus próprios carros. De acordo com a Hertz Corporation, 69% utilizam seus próprios carros; a tabela a seguir descreve, assim, a distribuição de probabilidades do número de funcionários (dentre oito selecionados aleatoriamente) que utilizam seus próprios carros.
0 0,000
1 0,002
2 0,012
3 0,053
4 0,147
5 0,261
Verifique se a função acima é uma função de probabilidade.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X que conta quantos dos 8 empregados usam carro próprio, segundo uma Binomial(n=8,p=0,69). Queremos verificar se essa função f(x)=P(X=x) é de fato uma função de probabilidade, ou seja, se satisfaz:
  1. f(x)>=0 para todo x considerado.
  2. sumx=0^8f(x)=1.

Passo 2

Condição de não-negatividade: todos os valores fornecidos na tabela para x=0,1,dots,5 são
0,000,;0,002,;0,012,;0,053,;0,147,;0,261,
que são claramente maiores ou iguais a zero. Logo, a condição f(x)>=0 está satisfeita para esses x.

Passo 3

Condição da soma igual a 1: faltam as probabilidades para x=6,7,8, mas sabemos que
f(x)=binom8x(0,69)^x(0,31)^8-x
Calculando:
f(6)=binom86(0,69)^6(0,31)^2approx0,290,
f(7)=binom87(0,69)^7(0,31)^1approx0,185,
f(8)=binom88(0,69)^8(0,31)^0approx0,051

Passo 4

Somando todas as probabilidades de x=0 até 8:
0,000+0,002+0,012+0,053+0,147+0,261+0,290+0,185+0,051approx1,000
Portanto sumx=0^8f(x)=1.

Resposta

Sim. A função dada é uma função de probabilidade, pois f(x)>=0 para todo x e as suas probabilidades somam 1.

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